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新人教高中数学必修5教案全集         ★★★
新人教高中数学必修5教案全集
作者:佚名 文章来源:本站原创 点击数:1850 更新时间:2011-11-02 15:12:06

新人教高中数学必修5 教案全集
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数学必修 5 模块的教学研究
一.教学实录
高中数学课程的总目标是:使学生在九年义务教育数学课程的基础上,进一步提高作为
未来公民所必要的数学素养,以满足个人发展与社会进步的需要。具体目标如下。
1.获得必要的数学基础知识和基本技能,理解基本的数学概念、数学结论的本质,了
解概念、结论等产生的背景、应用,体会其中所蕴涵的数学思想和方法,以及它们在后续学
习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动,体验数学发现和创造的历程。
2.提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。
3.提高数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际问题)的能力,数学表达和交
流的能力,发展独立获取数学知识的能力。
4.发展数学应用意识和创新意识,力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和
作出判断。
5.提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
6.具有一定的数学视野,逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值,形成批判
性的思维习惯,崇尚数学的理性精神,体会数学的美学意义,从而进一步树立辩证唯物主义
和历史唯物主义世界观。
本册教科书包括“解三角形”、“数列”、“不等式”等三章内容。全书约需36 课时,
具体课时分配如下:
第一章 解三角形 约8 课时
第二章 数列 约12 课时
第三章 不等式 约16 课时
三角恒等变换在数学中有一定的应用,同时有利于发展学生的推理能力和运算能力。在
本模块中,学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式,由此出发导出其他的三角
恒等变换公式,并能运用这些公式进行简单的恒等变换。
数列作为一种特殊的函数,是反映自然规律的基本的数学模型。在本模块中,学生将通
过对日常生活中大量实际问题的分析,建立等差数列和等比数列这两种数列模型,探索并掌
握它们的一些基本数量关系,感受这两种数列模型的广泛应用,并利用它们解决一些实际问
题。
不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系,是数学研究的重要内容。建立不等
观念、处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。在本模块中,学生将通过具体情境,感
受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式(组)对于刻画不等关系的
意义和价值;掌握求解一元二次不等式的基本方法,并能解决一些实际问题;能用二元一次
不等式组表示平面区域,并尝试解决一些简单的二元线性规划问题;认识基本不等式及其简
单应用;体会不等式、方程及函数之间的联系。
高中新课程已实施了一年。这不得让我们感到机遇与挑战同在,问题与智慧共生。在高
中新课程的课堂上,我们欣喜地看到,丰富多彩的课堂正在出现,在民主宽松的课堂环境下,
学生的思想获得了解放,敢于放言陈述自己的观点,思维方式也得到了大大的拓展,各方面
的能力都有提高,教师经常会有惊喜地发现。在这样的课堂里,老师也经常受到学生的启发,
真正体现了新课程使师生共同成长。
但一个模块的教学时间为36 学时,远远不够。原因何在?是教材本身的问题,还是课
程标准的要求有问题,或者是教师在使用教材方面的问题?实施新课程以后,学生自己支配
的时间多了,有些学生不知道如何科学地利用时间。从前都有老师跟着,老师都为他们安排
好了,学什么?做什么?但现在,若老师不在身边,有些学生就躁动不安,不懂得如何自主
地学习了。新课程的实施必然带来许多新问题,作为教师,要经常反思,及时找到新的对策。
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二.模块试卷的命制目的及试卷分析。
[模块试卷样本]:
海口市一中2004-2005 学年度第二学期
数学模块5 考试试题
(解三角形、数列)
一、选择题
1.在△ABC 中,角A、B、C 成等差数列,则角B 为( )
(A) 30° (B) 60° (C) 90° (D) 120°
2.由a1 = 1,d = 3确定的等差数列{ } n a ,当n a =298 时,序号n 等于( )
(A) 99 (B) 100 (C) 96 (D)101
3.在等比数列{ } n a , 3 7 a = 2,a = 32,则q =( )
(A) 2 (B) -2 (C) ±2 (D) 4
4.在△ABC 中,若
c2 = a2 + b2 + ab,则∠C=( )
(A) 60° (B) 90° (C) 150° (D) 120°
5.在等差数列{ } n a 中,若
2 4 5 6 8 a + a + a + a + a = 450 ,则2 8 a + a 的值等于(

(A) 180 (B) 75 (C) 45 (D) 30
6.在等差数列{ } n a 中,已知1 2 a + a = 15, 3 4 a + a = 35,则5 6 a + a =( )
(A) 65 (B) 55 (C) 45 (D) 25
7.在△ABC中,若sin A cos B = cos A sin B ,则△ABC 为( )
(A)直角三角形 (B)等腰三角形
(C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形
8.在等比数列{ } n a 中,前三项分别为
1, q, q2 ,第二项加上2 后构成等差数列,则q =
( )
(A) 3 (B) -1 (C) 3 或-1 (D) 2
9.在各项均为正数的等比数列{ } n b 中,若7 8 b ⋅b = 3,则
3 1 3 2 log b + log b +…… 3 14 + log b 等于( )
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)8
第二卷
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
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答案
二、填空题
10.在△ABC中,a=3 2,b=2 3,
cos 1
3
C= ,则ABC S = △ _______
11.在等比数列{ } n a 中, 1 a =2, 3 a =8,则6 S =_______
12. 1 1 1
1 2 2 3 3 4
+ + +
× × ×
…… 1
n(n 1)
+ =
+
____________
三、解答题
13.(10 分) 已知等差数列
111 ,9 1 ,7 1 ,
2 2 2
…的前n 项和为n S ,求使得n S 最大的序号
n 的值,并求n S 的值。
14.(10 分)已知数列{ } n a 的前n 项和为n S , 1( 1)
n 3 n S = a − (n ∈ N* )
⑴ 求 1 2 a , a ;
⑵ 求证:数列{ } n a 是等比数列。
15.(8 分)如图,某海轮以60 n mile/h 的速度航行,在A 点测得海面上油井P 在南偏东
60°,向北航行40 min 后到达B 点,测得油井P 在南偏东30°,海轮改为北偏东60°的
航向再行驶80 min 到达C 点,求P、C 间的距离。
[模块考试情况分析]:
样本容量为57(一个普通班学生)
选择题各小题得分率如下:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
得分率 0.72 0.33 0.70 0.60 0.61 0.37 0.51 0.67 0.82
60°
30°
60°
A
B
C
P

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填空题、解答题满分率如下:
题号 10 11 12 13 14 15
得分率 0.59 0.40 0.58 0.44 0.57 0.29
综合以上对考试的试卷分析,对本模块及以后的教学有着以下几点启示:
1、要重视基础。数学教学必须面向全体学生,立足基础,教学过程中要落实基本概念
知识、基本技能和基本数学思想方法的要求,特别要关心数学学习困难的学生,通过学习兴
趣培养和学习方法指导,使他们达到学习的基本要求,努力提高合格率。
2、培养学生的数学表述能力,提高学生的计算能力。学生在答题中,由于书写表达的
不规范或是表述能力的欠缺,也是造成失分的原因。表述是一种重要的数学交流能力,因此,
教学中要重视训练,培养学生良好的数学表述能力。同时也要加强考前指导,学习中考说明
中有关答题的要求,尽量减少由于表述不清造成的失分。
3、强化思维过程,努力提高理性思维能力。数学基础知识的学习要充分重视知识的形
成过程,解数学题要着重研究解题的思维过程,弄清基本数学方法和基本数学思想在解题中
的意义和作用,研究运用不同的思维方法解决同一个数学问题的多条途径,注意增减直觉猜
想,归纳抽象,逻辑推理,演绎证明,运算求解等理性思维能力。如果这方面做得好的话。
4、倡导主动学习,营造自主探索和合作交流的环境。学校和教师要为学生营造自主探索和
合作交流的空间,善于从教材实际和社会生活中提出问题,开设研究性课程,让学生自主学
习、讨论、交流,在解决问题的过程中,激发兴趣,树立信心,培养钻研精神,同时提高数
学表达能力和数学交流能力。
三.模块教学反思。
(1)数学必修5 的内容共有三章,分别是:解三角形,数列,不等式;内容较多,在
课改之前应该是高二上学期的内容,并且每周至少是6 课时;现在实行课改后5 周就上完课
本的三分之二,每周是5 课时;由于课时紧,任务大,我感觉学生学得不够好,大多数学生
反映“消化不良”。数学必修5 结束一半时进行了一次期末考试,结果也与我们预期的有较
大的出入;课本上原题(含例题、课后练习、习题A 组与复习题的A 组)占了整个试题的
55%,结果有超过一半的学生不及格,原因在哪里呢?我想这应该是我在下一个学段急需解
决的主要问题;在上课时我也是一直是按新课程的理念贯穿整个教学的始终,也是处处体现
为了每一个学生的发展的理念,可为什么最后的结果会有如此大的反差呢?针对这样的情
况,我该怎么办,这也是我在今后所要解决的一个突出的问题。
另我感到欣慰的是:有相当一部分学生懂得如何去学习,如何去钻研、如何带着质疑的
态度去仔细斟酌;正是有了这种勤学好问的精神,所以学生自己发现了书本的好几处错误:
如:教材61 页最上面的、教材135 页例题3 解答中也有一处、教材140 页A 组第三题、教
材146 页B 组第二题等等。
我想这主要应该是学生的学习方式发生了巨大的变化才有这样的结果,在课堂上学生不
再是听课的机器,而是积极参与到课堂教学当中,成了课堂真正的主人。在课堂上我让学生
自己发现问题,提出问题,然后解决问题。自己解决不了问题在学习小组之内讨论解决,在
小组还解决不了的问题在全班共同讨论解决,直至问题得到完满的解决。这样学生在无形之
中就变成了学习的主人,成了学习的主角;因为是自己发现的问题,自己来尝试解决,因而
学生的积极性也就很高,学习热情就很饱满。当然在学生最需要帮助的时候,我便与学生一
起探讨,关键的时候给予必要的指点和表扬,以保持学生学习热情的持续性。
我的教学方式:在教数学必修5 的内容时我基本上是让学生自己先预习后提出问题,其
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他同学一起帮助解决问题,我仅仅是在课堂上控制一下课堂节奏;引导学生如何倾听他人的
观点;在学生感到非常困难是加以分析、引导;指导他们如何进行合作学习;思考如何让学
生都“动”起来等等。
(2)“内容多,课时少”是学生反映最强烈的问题.调查发现,78%的学生认为老师讲课
速度快,学习跟不上,没有时间理解和消化所学习的内容.因而有必要适当调整部分教学内
容,如在高一第一学期开设的数学课程不宜过多,可以考虑只开一个模块,让学生对高中的
数学学习有一个适应的过程,以实现初高中的平稳过渡.同时,对现有的部分内容,该充实
的还是要充实,让教材内容更具体,学生学习起来更方便.例如,关于信息技术的应用,学
生普遍要求教材能对具体操作步骤更细致些,老师不仅对有关软件作演示,还应教会学生操
作的方法,正所谓“授之以鱼不如授之以渔”.又如,某些公式、定理的证明、推导,虽然
课程标准中不要求学生掌握,但教材中还是可以以某种恰当的形式给出(如小字的形式,以
某个问题启发学生思考,介绍某些参考书或某些网站让学生自己去查阅等).学生对某知识
了解其来龙去脉,理解、记忆会更深刻,从而对数学学习产生更大的兴趣.
数学 5 第一章 解三角形
章节总体设计
(一)课标要求
本章的中心内容是如何解三角形,正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,最后落实
在解三角形的应用上。通过本章学习,学生应当达到以下学习目标:
(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决
一些简单的三角形度量问题。
(2)能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关
的生活实际问题。
(二)编写意图与特色
1.数学思想方法的重要性
数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分,有利于学生加深数学知识的理
解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学,并且在提出问题、思考解决问题的策
略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理,它
们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中,学生已经学习了相关边角关系的定性的知识,
就是“在任意三角形中有大边对大角,小边对小角”,“如果已知两个三角形的两条对应边及
其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时,让学生从已有的几何知识出发,提出探究性问题:“在
任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准
确量化的表示呢?”,在引入余弦定理内容时,提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及
其所夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们
仍然从量化的角度来研究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角
形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题,都是为了加强数学思想方法的教学。
2.注意加强前后知识的联系
加强与前后各章教学内容的联系,注意复习和应用已学内容,并为后续章节教学内容做
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好准备,能使整套教科书成为一个有机整体,提高教学效益,并有利于学生对于数学知识的
学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系,与初中学习的三角形的边与角的基本关系,已知三
角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时,让
学生从已有的几何知识出发,提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角,小边对小角
的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”,在引入余弦定理内容
时,提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法,
这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题,也就
是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样,从
联系的观点,从新的角度看过去的问题,使学生对于过去的知识有了新的认识,同时使新知
识建立在已有知识的坚实基础上,形成良好的知识结构。
《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容,位置
相对靠后,在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知
识联系密切的内容,这使这部分内容的处理有了比较多的工具,某些内容可以处理得更加简
洁。比如对于余弦定理的证明,常用的方法是借助于三角的方法,需要对于三角形进行讨论,
方法不够简洁,教科书则用了向量的方法,发挥了向量方法在解决问题中的威力。
在证明了余弦定理及其推论以后,教科书从余弦定理与勾股定理的比较中,提出了一个
思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角
形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系?”,并进而指出,“从余弦定理以
及余弦函数的性质可知,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对
的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角;如果大于第三边的平方,
那么第三边所对的角是锐角.从上可知,余弦定理是勾股定理的推广.”
3.重视加强意识和数学实践能力
学数学的最终目的是应用数学,而如今比较突出的两个问题是,学生应用数学的意识不
强,创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题,不能把所学的数学知识应用
到实际问题中去,对所学数学知识的实际背景了解不多,虽然学生机械地模仿一些常见数学
问题解法的能力较强,但当面临一种新的问题时却办法不多,对于诸如观察、分析、归纳、
类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情
况,本章重视从实际问题出发,引入数学课题,最后把数学知识应用于实际问题。
(三)教学内容及课时安排建议
1.1 正弦定理和余弦定理(约3 课时)
1.2 应用举例(约4 课时)
1.3 实习作业(约1 课时)
(四)评价建议
1.要在本章的教学中,应该根据教学实际,启发学生不断提出问题,研究问题。在对
于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中,应该因势利导,根据具体教学过程中学生思考
问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理,可以启发得到有应用向
量方法的证明,对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决
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有关的解三角形和测量问题的过程中,一个问题也常常有多种不同的解决方案,应该鼓励学
生提出自己的解决办法,并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问
题甚至可以鼓励学生设计应用的程序,得到在实际中可以直接应用的算法。
2.适当安排一些实习作业,目的是让学生进一步巩固所学的知识,提高学生分析问题
的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力,增
强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导,包括对于实
际测量问题的选择,及时纠正实际操作中的错误,解决测量中出现的一些问题。
1.1.1 正弦定理
(一)教学目标
1.知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方
法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关
系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用
的实践操作。
3.情态与价值:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情
推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间
的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
(二)教学重、难点
重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
(三)学法与教学用具
学法:引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系:
sin sin sin
a b c
A B C
= = ,接着就一般斜
三角形进行探索,发现也有这一关系;分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导,
让学生发现向量知识的简捷,新颖。
教学用具:直尺、投影仪、计算器
(四)教学设想
[创设情景]
如图1.1-1,固定Δ ABC 的边CB 及∠ B,使边AC 绕着顶点C 转动。 A
思考: ∠ C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系?
显然,边AB 的长度随着其对角∠ C 的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来? C B
[探索研究] (图1.1-1)
在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等
式关系。如图1.1-2,在Rt Δ ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数
的定义,有sin
a
A
c
= , sin
b
B
c
= ,又sin 1
c
C
c
= = , A

sin sin sin
a b c
c
A B C
= = = b c
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从而在直角三角形 ABC 中,
sin sin sin
a b c
A B C
= = C a B
(图1.1-2)
思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?
(由学生讨论、分析)
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:
如图1.1-3,当Δ ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD,根据任意角三角函数的
定义,有CD=a sinB =b sinA ,则
sin sin
a b
A B
= , C
同理可得
sin sin
c b
C B
= , b a
从而
sin sin
a b
A B
=
sin
c
C
= A c B
(图1.1-3)
思考:是否可以用其它方法证明这一等式?由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究
这个问题。
(证法二):过点A 作j ⊥AC
􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇
, C
由向量的加法可得 AB = AC +CB
􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁇
则 j ⋅AB =j ⋅(AC +CB )
􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁇
A B
∴j ⋅AB =j ⋅AC +j ⋅CB
􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁇
j􀁊 􀁇
cos(900 − )=0+ cos(900 − )
􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁇􀁊􀁊􀁊􀁇
j AB A j CB C
∴csin A=asinC,即sin sin
a = c
A C
同理,过点C 作⊥
􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇
j BC,可得 sin sin
b = c
B C
从而
sin sin
a b
A B
=
sin
c
C
=
类似可推出,当Δ ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。(由学生课后自己推导)
从上面的研探过程,可得以下定理
正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
sin sin
a b
A B
=
sin
c
C
=
[理解定理]
(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即
存在正数k使a = k sinA ,b = k sinB ,c = k sinC ;
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(2)
sin sin
a b
A B
=
sin
c
C
= 等价于
sin sin
a b
A B
= ,
sin sin
c b
C B
= ,
sin
a
A
=
sin
c
C
从而知正弦定理的基本作用为:
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如
sin
sin
b A
a
B
= ;
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如sin sin
a
A B
b
= 。
一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]
例1.在ΔABC 中,已知A=32.00,B=81.80,a=42.9 cm,解三角形。
解:根据三角形内角和定理,
C=1800 −(A+B)
=1800 −(32.00 +81.80)
=66.20;
根据正弦定理,
0
0
sin 42.9sin81.8 80.1( ) sin sin32.0
b= a AB = ≈ cm ;
根据正弦定理,
0
0
sin 42.9sin66.2 74.1( ). sin sin32.0
c= a AC = ≈ cm
评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2.在ΔABC 中,已知a=20 cm,b=28 cm,A=400 ,解三角形(角度精确到10,边
长精确到1cm)。
解:根据正弦定理,
sin 28sin400 sin 20 0.8999. B= b a A= ≈
因为00<B<1800,所以B≈640,或B≈1160.
⑴ 当B≈640时,
C=1800 −(A+B)≈1800 −(400 +640)=760,
0
0
sin 20sin76 30( ). sin sin40
c= a AC = ≈ cm
⑵ 当B≈1160时,
C=1800 −(A+B)≈1800 −(400 +1160)=240,
0
0
sin 20sin24 13( ). sin sin40
c= a AC = ≈ cm
评述:应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。
[随堂练习]第5 页练习第1(1)、2(1)题。
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例 3.已知Δ ABC 中,∠A = 600,a = 3 ,求
sin sin sin
a b c
A B C
+ +
+ +
分析:可通过设一参数k(k>0)使
sin sin
a b
A B
=
sin
c
k
C
= = ,
证明出
sin sin
a b
A B
=
sin
c
C
= =
sin sin sin
a b c
A B C
+ +
+ +
解:设
sin sin
a b
A B
= ( >o)
sin
c
k k
C
= =
则有a = k sinA ,b = k sinB ,c = k sinC
从而
sin sin sin
a b c
A B C
+ +
+ +
=
sin sin sin
sin sin sin
k A k B k C
A B C
+ +
+ +
= k

sin
a
A
= 0
3
2
sin 60
= = k ,所以
sin sin sin
a b c
A B C
+ +
+ +
=2
评述:在Δ ABC 中,等式
sin sin
a b
A B
=
sin
c
C
= = ( 0)
sin sin sin
a b c
k k
A B C
+ + = >
+ +
恒成立。
[补充练习]已知Δ ABC 中,sinA :sinB :sinC =1:2:3,求a :b :c
(答案:1:2:3)
[课堂小结](由学生归纳总结)
(1)定理的表示形式:
sin sin
a b
A B
=
sin
c
C
= = ( 0)
sin sin sin
a b c
k k
A B C
+ + = >
+ +

或a = k sinA ,b = k sinB ,c = k sinC (k > 0)
(2)正弦定理的应用范围:
①已知两角和任一边,求其它两边及一角;
②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。
(五)评价设计
①课后思考题:(见例3)在Δ ABC 中,
sin sin
a b
A B
= ( >o)
sin
c
k k
C
= = ,这个k 与Δ ABC 有
什么关系?
②课时作业:第10 页[习题1.1]A 组第1(1)、2(1)题。
1.1.2 余弦定理
(一)教学目标
1.知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定
理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定
理解决两类基本的解三角形问题,
3.情态与价值:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;通过三角函数、
余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
(二)教学重、难点
重点:余弦定理的发现和证明过程及其基本应用;
难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
(三)学法与教学用具
学法:首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化,也就是研究如何从已
知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题,利用向量的数量积比较容易
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地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角
教学用具:直尺、投影仪、计算器
(四)教学设想
[创设情景] C
如图1.1-4,在Δ ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b 和∠ C,求边c b a
A c B
(图1.1-4)
[探索研究]
联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题?
用正弦定理试求,发现因A、B 均未知,所以较难求边c。
由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
如图1.1-5,设CB =a
􀁊􀁊􀁇 􀁇
,CA =b
􀁊􀁊􀁇 􀁇
,AB =c
􀁊􀁊􀁇 􀁇
,那么c =a −b
􀁇 􀁇 􀁇
,则 b
􀁇
c 􀁇
( )( ) 2
2 2
2
2
c c c a b a b
a a b b a b
a b a b
= ⋅ = − −
= ⋅ + ⋅ − ⋅
= + − ⋅
􀁇 􀁇 􀁇 􀁇 􀁇 􀁇 􀁇
􀁇 􀁇 􀁇 􀁇 􀁇 􀁇
􀁇 􀁇 􀁇 􀁇 C a
􀁇
B
从而 2 2 2 c =a +b − 2ab cosC (图1.1-5)
同理可证 2 2 2 a =b +c − 2bc cosA
2 2 2 b =a +c − 2ac cosB
于是得到以下定理
余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角
的余弦的积的两倍。即 2 2 2 a =b +c − 2bc cosA
2 2 2 b =a +c − 2ac cosB
2 2 2 c =a +b − 2ab cosC
思考:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由
三边求出一角?
(由学生推出)从余弦定理,又可得到以下推论:
2 2 2
cos 2
A=b +c −a bc
2 2 2
cos 2
B= a +c −b ac
2 2 2
cos 2
C= b +a −c ba
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为:
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边;
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角
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形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系?
(由学生总结)若Δ ABC 中,C= 900,则cosC=0,这时c2 =a2 +b2
由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。
[例题分析]
例1.在Δ ABC中,已知a=2 3,c= 6 + 2 ,B=600,求b 及A
⑴解:∵b2 =a2 +c2 −2accosB
= (2 3)2 +( 6 + 2)2 −2⋅2 3⋅( 6 + 2) cos 450
=12+( 6 + 2)2 −4 3( 3+1)
=8
∴b=2 2.
求A可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:
⑵解法一:∵cos
2 2 2 (2 2)2 ( 6 2 )2 (2 3)2 12 2, 2 2 2 ( 6 2)
= + − = + + − =
× × +
A b c a bc
∴ A=600.
解法二:∵sin sin 2 3 sin450,
2 2
A= ba B= ⋅
又∵ 6 + 2>2.4+1.4=3.8,
2 3<2×1.8=3.6,
∴a <c,即00< A<900,
∴ A=600.
评述:解法二应注意确定A 的取值范围。
例2.在Δ ABC中,已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形
(见课本第8 页例4,可由学生通过阅读进行理解)
解:由余弦定理的推论得:
cos
2 2 2
2
A= b +c −a bc
87.82 161.72 134.62
2 87.8 161.7
= + −
× ×
≈0.5543,
A≈56020′;
cos
2 2 2
2
B= c +a −b ca
134.62 161.72 87.82
2 134.6 161.7
= + −
× ×
≈0.8398,
B≈32053′;
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C=1800 −(A+B)≈1800 −(56020′+32053′)
=90047′.
[随堂练习]第8 页练习第1(1)、2(1)题。
[补充练习]在Δ ABC 中,若2 2 2 a =b +c +bc ,求角A(答案:A=120 0 )
[课堂小结]
(1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例;
(2)余弦定理的应用范围:①.已知三边求三角;②.已知两边及它们的夹角,求第三边。
(五)评价设计
①课后阅读:课本第9 页[探究与发现]
②课时作业:第11 页[习题1.1]A 组第3(1),4(1)题。
1.1.3 解三角形的进一步讨论
(一)教学目标
1.知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无
解等情形;三角形各种类型的判定方法;三角形面积定理的应用。
2. 过程与方法:通过引导学生分析,解答三个典型例子,使学生学会综合运用正、余弦定理,
三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
3.情态与价值:通过正、余弦定理,在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数
的关系,反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能,从而从本质上反映了事
物之间的内在联系。
(二)教学重、难点
重点:在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形;
三角形各种类型的判定方法;三角形面积定理的应用。
难点:正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
(三)学法与教学用具
学法:通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。
教学用具:教学多媒体设备
(四)教学设想
[创设情景]
思考:在Δ ABC中,已知a = 22cm ,b = 25cm , 0 A =133 ,解三角形。
(由学生阅读课本第9 页解答过程)
从此题的分析我们发现,在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,在某些条
件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
[探索研究]
例1.在Δ ABC中,已知a,b,A ,讨论三角形解的情况
分析:先由
sin
sin
b A
B
a
= 可进一步求出B;
则0 C =180 −(A + B )
从而
a sinC
c
A
=
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1.当A 为钝角或直角时,必须a >b 才能有且只有一解;否则无解。
2.当A 为锐角时,
如果a ≥b ,那么只有一解;
如果a <b ,那么可以分下面三种情况来讨论:
(1)若a >b sinA ,则有两解;
(2)若a =b sinA ,则只有一解;
(3)若a <b sinA ,则无解。
(以上解答过程详见课本第9 ∼ 10 页)
评述:注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有当A 为锐角且
b sinA <a <b 时,有两解;其它情况时则只有一解或无解。
[随堂练习1]
(1)在Δ ABC中,已知a = 80,b =100, 0 ∠A = 45 ,试判断此三角形的解的情况。
(2)在Δ ABC中,若a =1,
1
2
c = , 0 ∠C = 40 ,则符合题意的b 的值有_____个。
(3)在Δ ABC 中,a = xcm ,b = 2cm , 0 ∠B = 45 ,如果利用正弦定理解三角形有两解,求
x 的取值范围。
(答案:(1)有两解;(2)0;(3)2 < x < 2 2 )
例2.在Δ ABC中,已知a = 7,b = 5,c = 3,判断Δ ABC的类型。
分析:由余弦定理可知
2 2 2
2 2 2
2 2 2
是直角ABC是直角三角形
是钝角ABC是钝角三角形
是锐角
a b c A
a b c A
a b c A
= + ⇔ ⇔Δ
> + ⇔ ⇔Δ
< + ⇔ ⇔ΔABC是锐角三角形
(注意:A是锐角⇔ΔABC是锐角三角形)
解: 2 2 2 ∵7 > 5 + 3 ,即2 2 2 a >b +c ,
∴ΔABC是钝角三角形。
[随堂练习2]
(1)在Δ ABC中,已知sinA :sinB :sinC =1:2:3,判断Δ ABC 的类型。
(2)已知Δ ABC 满足条件a cosA =b cosB ,判断Δ ABC 的类型。
(答案:(1)ΔABC是钝角三角形;(2)Δ ABC是等腰或直角三角形)
例3.在Δ ABC 中, 0 A = 60 ,b =1,面积为
3
2
,求
sin sin sin
a b c
A B C
+ +
+ +
的值
分析:可利用三角形面积定理
1 1 1
sin sin sin
2 2 2
S = ab C = ac B = bc A 以及正弦定理
sin sin
a b
A B
=
sin
c
C
= =
sin sin sin
a b c
A B C
+ +
+ +
解:由
1 3
sin
2 2
S = bc A = 得c = 2,
则2 2 2 a =b +c − 2bc cosA =3,即a = 3,
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从而
sin sin sin
a b c
A B C
+ +
+ +
2
sin
a
A
= =
[随堂练习3]
(1)在Δ ABC中,若a = 55,b =16,且此三角形的面积S = 220 3 ,求角C
(2)在Δ ABC 中,其三边分别为a、b、c,且三角形的面积
2 2 2
4
a b c
S
= + − ,求角C
(答案:(1) 0 60 或0 120 ;(2) 0 45 )
[课堂小结]
(1)在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形;
(2)三角形各种类型的判定方法;
(3)三角形面积定理的应用。
(五)评价设计(课时作业)
(1)在Δ ABC中,已知b = 4,c =10, 0 B = 30 ,试判断此三角形的解的情况。
(2)设x、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长,求实数x 的取值范围。
(3)在Δ ABC 中, 0 A = 60 ,a =1,b +c = 2,判断Δ ABC 的形状。
(4)三角形的两边分别为3cm,5cm,它们所夹的角的余弦为方程2 5x − 7x − 6 = 0的根,
求这个三角形的面积。
解三角形应用举例
第一课时
(1)教学目标
(a)知识与技能:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际
问题,了解常用的测量相关术语
(b)过程与方法 :首先通过巧妙的设疑,顺利地引导新课,为以后的几节课做良好铺垫。其
次结合学生的实际情况,采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈
训练”的教学过程,根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系,铺开例题,设计变式,同
时通过多媒体、图形观察等直观演示,帮助学生掌握解法,能够类比解决实际问题。对于例
2 这样的开放性题目要鼓励学生讨论,开放多种思路,引导学生发现问题并进行适当的指点
和矫正
(c)情感与价值:激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值;同时培养学生运用图形、
数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
(2)教学重点、难点
教学重点:由实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后逐个解决三角形,得到实际问题的

教学难点:根据题意建立数学模型,画出示意图
(3)学法与教学用具
让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形,让学生尝试绘制知识
纲目图。生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理,因此系统掌握前一节内容是学
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好本节课的基础。解有关三角形的应用题有固定的解题思路,引导学生寻求实际问题的本质
和规律,从一般规律到生活的具体运用,这方面需要多琢磨和多体会。
直角板、投影仪(多媒体教室)
(4)教学设想
1、复习旧知
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形?
2、设置情境
请学生回答完后再提问:前面引言第一章“解三角形”中,我们遇到这么一个问题,“遥
不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢?”在古代,天文学家没有先进的仪器就已经估算出
了两者的距离,是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢?我们知道,对于未知的距离、高度
等,存在着许多可供选择的测量方案,比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法,或借
助解直角三角形等等不同的方法,但由于在实际测量问题的真实背景下,某些方法会不能实
施。如因为没有足够的空间,不能用全等三角形的方法来测量,所以,有些方法会有局限性。
于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理
在科学实践中的重要应用,首先研究如何测量距离。
3、新课讲授
(1)解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意,正确做出图形,把实际问题里的
条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角,通过建立数学模型来求解
(2)例1、如图,设A、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A 的同侧,在
所在的河岸边选定一点C,测出AC 的距离是55m,∠BAC=51°,∠ACB=75°。求A、B 两点
的距离(精确到0.1m)
启发提问1: Δ ABC 中,根据已知的边和对应角,运用哪个定理比较适当?
启发提问2:运用该定理解题还需要那些边和角呢?请学生回答。
分析:这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题,题目条
件告诉了边AB 的对角,AC 为已知边,再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算
出AC 的对角,应用正弦定理算出AB 边。
解:根据正弦定理,得
ACB
AB
sin∠
=
ABC
AC
sin∠
AB =
ABC
AC ACB


sin
sin
=
ABC
ACB


sin
55sin
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=
sin(180 51 75 )
55sin75
° − ° − °
°
=
°
°
sin54
55sin75
≈ 65.7(m)
答:A、B 两点间的距离为65.7 米
变式练习:两灯塔A、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km,灯塔A 在观察站C 的北偏东30 ° ,
灯塔B 在观察站C 南偏东60 ° ,则A、B 之间的距离为多少?
老师指导学生画图,建立数学模型。
解略: 2 a km
例2、(动画演示辅助点和辅助线)如图,A、B 两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测
量A、B 两点间距离的方法。
分析:这是例1 的变式题,研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造
三角形,所以需要确定C、D 两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可
求出另两边的方法,分别求出AC 和BC,再利用余弦定理可以计算出AB 的距离。
解:测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得CD=a,并且在C、D 两点分别测得∠ BCA=α ,
∠ ACD= β , ∠ CDB=γ , ∠ BDA =δ ,在Δ ADC 和Δ BDC 中,应用正弦定理得
AC =
sin[180 ( )]
sin( )
β γ δ
γ δ
° − + +
a + =
sin( )
sin( )
β γ δ
γ δ
+ +
a +
BC =
sin[180 ( )]
sin
α β γ
γ
° − + +
a =
sin( )
sin
α β γ
γ
+ +
a
计算出AC 和BC 后,再在Δ ABC 中,应用余弦定理计算出AB 两点间的距离
AB = AC 2 + BC 2 − 2 AC × BC cos α
分组讨论:还没有其它的方法呢?师生一起对不同方法进行对比、分析。
变式训练:若在河岸选取相距40 米的C、D 两点,测得∠ BCA=60 ° ,∠ ACD=30 ° ,∠ CDB=45 ° ,
∠ BDA =60 °
略解:将题中各已知量代入例2 推出的公式,得AB=20 6
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评注:可见,在研究三角形时,灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案,但有些
过程较繁复,如何找到最优的方法,最主要的还是分析两个定理的特点,结合题目条件来选
择最佳的计算方式。
4、学生阅读课本4 页,了解测量中基线的概念,并找到生活中的相应例子。
5、课堂练习
课本第14 页练习第1、2 题
6、归纳总结
解斜三角形应用题的一般步骤:
(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图
(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建
立一个解斜三角形的数学模型
(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解
(4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解
(5)评价设计
1、课本第 22 页第1、2、3 题
2、思考题:某人在M 汽车站的北偏西20 ° 的方向上的A 处,观察到点C 处有一辆汽车沿公
路向M 站行驶。公路的走向是M 站的北偏东40 ° 。开始时,汽车到A 的距离为31 千米,
汽车前进20 千米后,到A 的距离缩短了10 千米。问汽车还需行驶多远,才能到达M 汽
车站?
解:由题设,画出示意图,设汽车前进20 千米后到达B 处。在Δ ABC 中,AC=31,BC=20,
AB=21,由余弦定理得
cosC=
AC BC
AC BC AB

+ −
2
2 2 2
=
31
23 ,
则sin 2 C =1- cos 2 C =
312
432 ,
sinC =
31
12 3 ,
所以 sin ∠ MAC = sin(120 ° -C)= sin120 ° cosC - cos120 ° sinC =
62
35 3
在Δ MAC 中,由正弦定理得
MC =
AMC
AC MAC


sin
sin =
2
3
31 ×
62
35 3 =35
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从而有 MB= MC-BC=15
答:汽车还需要行驶15 千米才能到达M 汽车站。
解三角形应用举例
第四课时
(1)教学目标
(a)知识和技能:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题,
掌握三角形的面积公式的简单推导和应用
(b)过程与方法:本节课补充了三角形新的面积公式,巧妙设疑,引导学生证明,同时总结
出该公式的特点,循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学
知识的生动运用,教师要放手让学生摸索,使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦
定理的特点,能不拘一格,一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点,就能很快开阔思
维,有利地进一步突破难点,。
(c)情感与价值:让学生进一步巩固所学的知识,加深对所学定理的理解,提高创新能力;
进一步培养学生研究和发现能力,让学生在探究中体验愉悦的成功体验
(2)教学重点、教学难点
教学重点:推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目
教学难点:利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题
(3)学法与教学用具
正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外,贵在活用,体会公式变形的技巧以及
公式的常规变形方向,并进一步推出新的三角形面积公式。同时解有关三角形的题目还要注
意讨论最终解是否符合规律,防止丢解或增解,养成检验的习惯。
直角板、投影仪
(4)教学设想
1、设置情境
师:以前我们就已经接触过了三角形的面积公式,今天我们来学习它的另一个表达公式。在
Δ ABC 中,边BC、CA、AB 上的高分别记为h a 、h b 、h c ,那么它们如何用已知边和角表
示?
生:h a =bsinC=csinB
h b =csinA=asinC
h c =asinB=bsinaA
师:根据以前学过的三角形面积公式S=
2
1 ah,应用以上求出的高的公式如h a =bsinC 代入,
可以推导出下面的三角形面积公式,S=
2
1 absinC,大家能推出其它的几个公式吗?
生:同理可得,S=
2
1 bcsinA, S=
2
1 acsinB
师:除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外,知道哪些条件也可求出三角形的
面积呢?
生:如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解
2、新课讲授
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例 1、在Δ ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积S(精确到0.1cm 2 )
(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5 ° ;
(2)已知B=62.7 ° ,C=65.8 ° ,b=3.16cm;
(3)已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析:这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题,与解三角形问题有密切的关系,
我们可以应用解三角形面积的知识,观察已知什么,尚缺什么?求出需要的元素,就可以求
出三角形的面积。
解:(1)应用S=
2
1 acsinB,得
S=
2
1 × 14.8 × 23.5 × sin148.5 ° ≈90.9(cm 2 )
(2)根据正弦定理,
B
b
sin
=
C
c
sin
c =
B
b C
sin
sin
S =
2
1 bcsinA =
2
1 b 2
B
C A
sin
sin sin
A = 180 ° -(B + C)= 180 ° -(62.7 ° + 65.8 ° )=51.5 °
S =
2
1 × 3.16 2 × °
° °
sin 62.7
sin 65.8 sin51.5
≈4.0(cm 2 )
(3)根据余弦定理的推论,得
cosB =
ca
c a b
2
2 + 2 − 2
=
2 38.7 41.4
38.72 41.42 27.32
× ×
+ −
≈0.7697
sinB = 1− cos2 B ≈ 1− 0.76972 ≈0.6384
应用S=
2
1 acsinB,得
S ≈
2
1 × 41.4 × 38.7 × 0.6384≈511.4(cm 2 )
例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量
得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少?(精确到
0.1cm 2 )?
师:你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗?
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生:本题可转化为已知三角形的三边,求角的问题,再利用三角形的面积公式求解。
由学生解答,老师巡视并对学生解答进行讲评小结。
解:设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论,
cosB=
ca
c a b
2
2 + 2 − 2
=
2 127 68
1272 682 882
× ×
+ −
≈0.7532
sinB= 1− 0.75322 ≈ 0.6578
应用S=
2
1 acsinB
S ≈
2
1 × 68 × 127 × 0.6578≈2840.38(m 2 )
答:这个区域的面积是2840.38m 2 。
例3、在Δ ABC 中,求证:
(1) ;
sin
sin sin
2
2 2
2
2 2
C
A B
c
a b +
=
+
(2)a2 + b2 + c2 =2(bccosA+cacosB+abcosC)
分析:这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题,观察式子左右两边的特点,联想到
用正弦定理来证明
证明:(1)根据正弦定理,可设
A
a
sin
=
B
b
sin
=
C
c
sin
= k
显然 k ≠ 0,所以
左边=
k C
k A k B
c
a b
2 2
2 2 2 2
2
2 2
sin
sin + sin
=
+
=
C
A B
2
2 2
sin
sin + sin
=右边
(2)根据余弦定理的推论,
右边=2(bc
bc
b c a
2
2 + 2 − 2
+ca
ca
c a b
2
2 + 2 − 2
+ab
ab
a b c
2
2 + 2 − 2
)
=(b 2 +c 2 - a 2 )+(c 2 +a 2 -b 2 )+(a 2 +b 2 -c 2 )
=a 2 +b 2 +c 2 =左边
变式练习1:已知在Δ ABC 中, ∠ B=30 ° ,b=6,c=6 3 ,求a 及Δ ABC 的面积S
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提示:解有关已知两边和其中一边对角的问题,注重分情况讨论解的个数。
答案:a=6,S=9 3 ;a=12,S=18 3
变式练习2:判断满足下列条件的三角形形状,
(1) acosA = bcosB
(2) sinC =
A B
A B
cos cos
sin sin
+
+
提示:利用正弦定理或余弦定理,“化边为角”或“化角为边”
(1) 师:大家尝试分别用两个定理进行证明。
生1:(余弦定理)得
a ×
bc
b c a
2
2 + 2 − 2
=b×
ca
c a b
2
2 + 2 − 2
∴c 2 (a2 − b2 ) = a4 − b4 = (a2 + b2 )(a2 − b2 )
∴a2 = b2或c2 = a2 + b2
∴根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形
生2:(正弦定理)得
sinAcosA=sinBcosB,
∴sin2A=sin2B,
∴2A=2B,
∴A=B
∴根据边的关系易得是等腰三角形
师:根据该同学的做法,得到的只有一种情况,而第一位同学的做法有两种,请大家思考,
谁的正确呢?
生:第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况,因为sin2A=sin2B,有可能推出2A
与2B 两个角互补,即2A+2B=180 ° ,A+B=90 °
(2)(解略)直角三角形
3、课堂练习
课本第21 页练习第1、2 题
4、归纳总结
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式,然后化简
并考察边或角的关系,从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦
定理甚至可以两者混用。
(5)评价设计
1、课本第 23 页练习第12、14、15 题
2、如图,在四边形ABCD 中, ∠ ADB= ∠ BCD=75 ° , ∠ ACB= ∠ BDC=45 ° ,DC= 3 ,求:
(1) AB 的长
(2) 四边形ABCD 的面积
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略解(1)因为∠ BCD=75 ° , ∠ ACB=45 ° ,所以
∠ ACD=30 ° ,又因为∠ BDC=45 ° ,所以
∠ DAC=180 ° -(75 ° + 45 ° + 30 ° )=30 ° ,
所以 AD=DC= 3
在Δ BCD 中, ∠ CBD=180 ° -(75 ° + 45 ° )=60 ° ,所以
sin 75°
BD =
sin 60°
DC
,BD =
°
°
sin 60
3 sin 75 =
2
6 + 2
在Δ ABD 中,AB 2 =AD 2 + BD 2 -2 × AD × BD × cos75 ° = 5,
所以得 AB= 5
(3) S ΔABD =
2
1 × AD × BD × sin75 ° =
4
3 + 2 3
同理, S ΔBCD =
4
3 + 3
所以四边形ABCD 的面积S=
4
6 + 3 3
数学 5 第二章数列
一、课程要求
数列作为一种特殊的函数,是反映自然规律的基本模型。在本模块中,学生将通过
对日常中大量实际问题的分析,建立等差数列和等比数列这两种模型,探索并掌握它们
的一些基本数量关系,感受这两种数列模型的广泛应用,并利用它们解决一些实际问题。
1、了解数列的概念,概念
2、理解等差数列的概念,探索并掌握等差数列的通项公式,体会等差数列的通项公式
与一次函数之间的关系。
3、探索并掌握等差数列的前n 项和公式,体会等差数列的前n 项和公式与二次函数之
间的关系。
4、理解等比数列的概念,探索并掌握等比数列的通项公式,体会等比数列的通项公式
与指数函数之间的关系。
5、探索并掌握等比数列的前n 项和公式,体会等比数列的前n 项和公式与指数型函数
之间的关系。
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6、能在具体的问题情境中,发现数列的等差或等比关系,并能用有关知识解决相应的
问题。
二、编写意图:
1、数列是刻画离散过程的重要数学模型,数列的知识也是高等数学的基础,它可以看成是
定义在正整数集或其有限子集的函数,因此,从函数的角度来研究数列,即是对函数学
习的延伸,也是一种特殊的函数模型。
2、本章力求通过具体的问题情景展现,帮助学生了解数列的概念,通过对具体问题的探究,
理解与掌握两类特殊的数列,并应用它们解决实际生活中相关的一些问题。编写中体现
了数学来源于生活,又服务于生活的这种基础学科的特点,使学生感觉到又亲切又好奇,
充满魅力。
3、教材在例题、习题的编排上,注重让学生重点掌握数列的概念、特殊数列的通项公式、
求和公式等,并应用这些知识解决实际生活中的问题,渗透函数思想解决问题。
4、教材在内容设计上突出了一些重要的数学思想方法。如类比思想、归纳思想、数形结合
思想、算法思想、方程思想、特殊到一般等思想贯穿于全章内容的始终。
5、教材在知识内容设计上,注意了数列与函数、算法、微积分、方程等的联系,适度应用
现代信息计术,帮助学生理解数学,提高数学学习的兴趣。
三、教学内容及课时安排建议
本章教学时间约 12 课时
2.1 数列的概念与简单表示法 约2 课时
2.2 等差数列 约2 课时
2.3 等差数列的前n 项和 约2 课时
2.4 等比数列 约2 课时
2.5 等比数列的前n 项和 约2 课时
问题与小结 约2 课时
四、评价建议
1、重视对学生数学学习过程的评价
关注学生在数列知识学习过程中,是否对所呈现的现实问题情境充满兴趣;在学习过
程中,能否发现数列的等差关系或等比关系,体会等差数列、等比数列与一次函数、指数
函数的关系。
2、正确评价学生的数学基础知识和基础技能
关注学生在数列知识的学习过程中,能否类比函数的性质,正确理解数列的概念,发现
数列的等差关系或等比关系,正确运用等差数列、等比数列的通项公式和求和公式解决具体
问题。
2.1 数列的概念与简单表示法
(一)教学目标
1、知识与技能:了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式);了解数
列是一种特殊的函数;
2、过程与方法:通过三角形数与正方形数引入数列的概念;通过类比函数的思想了解数列
的几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式);
3、情态与价值:体会数列是一种特殊的函数;借助函数的背景和研究方法来研究有关数列
的问题,可以进一步让学生体会数学知识间的联系,培养用已知去研究未知的能力。
(一)教学重、难点
重点:理解数列的概念,认识数列是反映自然规律的基本数学模型,探索并掌握数列的几种
新人教高中数学必修5 教案全集
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间单的表示法(列表、图象、通项公式);
难点:了解数列是一种特殊的函数;发现数列规律找出可能的通项公式。
(二)学法与教学用具
学法:学生以阅读与思考的方式了解数列的概念;通过类比函数的思想了解数列的几种简单
的表示方法;以观察的形式发现数列可能的通项公式。
教学用具:多媒体、投影仪、尺等
(三)教学设想
1、多媒体展示三角形数、正方形数,提问:这些数有什么规律?与它所表示的图形的序
号有什么关系?
2、(1)概括数列的概念:按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫
做这个数列的项。
(2)辩析数列的概念:“1,2,3,4,5”与“5,4,3,2,1”是同一个数列吗?与“1,
3,2,4,5”呢?给出首项与第n 项的定义及数列的记法:{an}
(3)数列的分类: 有穷数列与无穷数列;递增数列与递减数列,常数列。
3、数列的表示方法
(1)函数y=7x+9 与y=3 x ,当依次取1,2,3,…时,其函数值构成的数列各有什么特
点?
(2)定义数列{an}的通项公式
(3)数列{an}的通项公式可以看成数列的函数解析式,利用一个数列的通项公式,你能
确定这个数列的哪些方面的性质?
(4)用列表和图象等方法表示数列,数列的图象是一系列孤立的点。
4、例1 写出下面数列的一个通项公式,使它的前4 项分别是下列各数:
(1)1,-1/2,1/3,-1/4;
(2)2,0,2,0.
引导学生观察数列的前4 项的特点,寻找规律写出通项公式。再思考:根据数列的前
若干项写出的数列通项公式的形式唯一吗?举例说明。
5、例2、图2.1-5 中的三角形称为希尔宾斯基(Sierpinski)三角形,在下图4 个三角形
2.1 数列的概念与简单表示法海口一中 陆健青
中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4 项,请写出这个数列的一个通项公式,并在
直角坐标系中画出它的图象。
通过多媒体展示希尔宾斯基(Sierpinski)三角形,引导学生观察着色三角形的个数的
变化,寻找规律写出数列的一个通项公式,并用图象表示数列。体会数列的图象是一系列
孤立的点。
6、问题:如果一个数列{an}的首项a1=1,从第二项起每一项等于它的前一想的前一项的2
倍再加1,即 an = 2 an-1 + 1(n∈N,n>1),(※)
你能写出这个数列的前三项吗?
像上述问题中给出数列的方法叫做递推法,(※)式称为递推公式。递推公式也是数列的
一种表示方法。
7、例3 设数列{an}满足
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写出这个数列的前五项。
此题与例1 的学习是互为相反的关系,也是为了引入下文的等差数列,等差数列是最简单
的递推数列。
8、课堂练习:P36 1~5, 课后作业:P38 习题 2.1 A 组 1,2,4,6。
9、课堂小结:
(1)数列的概念,认识数列是反映自然规律的基本数学模型;
(2)了解用列表、图象、通项公式、递推公式等方法表示数列;能发现数列规律找出可能
的通项公式。
(3)了解数列是一种特殊的函数。
(四)评价设计
1、重视对学生学习数列的概念及表示法的过程的评价
关注学生在数列概念与表示法的学习中,对所呈现的问题情境是否充满兴趣;在学习过
程中,能否发现数列中的项的规律特点,写出数列的通项公式,或递推公式。
2、正确评价学生的数学基础知识和基础技能
能否类比函数的性质,正确理解数列的概念,正确使用通项公式、列表、图象等方法表示数
列,了解数列是一种特殊的函数。了解递推公式也是数列的一种表示方法。
2.2 等差数列
(一)教学目标
1.知识与技能:通过实例,理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式;能在具
体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题;体会等差数列与一
次函数的关系。
2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析,引导学生通过观察,推导,归纳抽象出
等差数列的概念;由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题,进行等差数列
通项公式应用的实践操作并在操作过程中,通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数
列相应问题的研究。
3.情态与价值:培养学生观察、归纳的能力,培养学生的应用意识。
(二)教学重、难点
重点:理解等差数列的概念及其性质,探索并掌握等差数列的通项公式;会用公式解决一些
简单的问题,体会等差数列与一次函数之间的联系。
难点:概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
(三)学法与教学用具
学法:引导学生首先从四个现实问题(数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、
储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列的特点,推导出等差
数列的通项公式;可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
教学用具:投影仪
(四)教学设想
[创设情景]
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上节课我们学习了数列。在日常生活中,人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以
后会接触得比较多的实际计算问题,都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习
一类特殊的数列。
[探索研究]
由学生观察分析并得出答案:
(放投影片)在现实生活中,我们经常这样数数,从0 开始,每隔5 数一次,可以得到数列:
0,5,____,____,____,____,……
2000 年,在澳大利亚悉尼举行的奥运会上,女子举重被正式列为比赛项目。该项目共
设置了7 个级别。其中较轻的4 个级别体重组成数列(单位:kg):48,53,58,63。
水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清理水库的杂鱼。如
果一个水库的水位为18cm,自然放水每天水位降低2.5m,最低降至5m。那么从开始放水算
起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成数列(单位:m):18,15.5,13,10.5,
8,5.5
我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加入本金计算下一
期的利息。按照单利计算本利和的公式是:本利和=本金×(1+利率×寸期).例如,按活期
存入10 000 元钱,年利率是0.72%。那么按照单利,5 年内各年末的本利和分别是:
时间 年初本金(元) 年末本利和(元)
第1 年 10 000 10 072
第2 年 10 000 10 144
第3 年 10 000 10 216
第4 年 10 000 10 288
第5 年 10 000 10 360
各年末的本利和(单位:元)组成了数列:10 072,10 144,10 216, 10 288,10 360。
思考:同学们观察一下上面的这四个数列:0,5,10,15,20,…… ①
48,53,58,63 ②
18,15.5,13,10.5,8,5.5 ③
10 072,10 144,10 216, 10 288,10 360 ④
看这些数列有什么共同特点呢?
(由学生讨论、分析)
引导学生观察相邻两项间的关系,得到:
对于数列①,从第2 项起,每一项与前一项的差都等于 5 ;
对于数列②,从第2 项起,每一项与前一项的差都等于 5 ;
对于数列③,从第2 项起,每一项与前一项的差都等于 -2.5 ;
对于数列④,从第2 项起,每一项与前一项的差都等于 72 ;
由学生归纳和概括出,以上四个数列从第2 项起,每一项与前一项的差都等于同一个常
数(即:每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点)。
[等差数列的概念]
对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征,
尝试着给等差数列下个定义:
等差数列:一般地,如果一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常
数,那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。那么对于以上四组等差数列,
它们的公差依次是5,5,-2.5,72。
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提问:如果在a 与b 中间插入一个数A,使a ,A,b 成等差数列数列,那么A 应满足什么
条件?
由学生回答:因为 a,A,b 组成了一个等差数列,那么由定义可以知道:
A-a=b-A
所以就有
2
A a b
+
=
由三个数a,A,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,这时,A 叫做a 与b 的
等差中项。
不难发现,在一个等差数列中,从第2 项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前
一项与后一项的等差中项。
如数列:1,3,5,7,9,11,13…中
5 是3 和7 的等差中项,1 和9 的等差中项。
9 是7 和11 的等差中项,5 和13 的等差中项。
看来, 2 4 1 5 4 6 3 7 a + a = a + a ,a + a = a + a
从而可得在一等差数列中,若 m+n=p+q
则m n p q a + a = a + a
[等差数列的通项公式]
对于以上的等差数列,我们能不能用通项公式将它们表示出来呢?这是我们接下来要学
习的内容。
⑴、我们是通过研究数列{ } n a 的第n 项与序号n 之间的关系去写出数列的通项公式的。下
面由同学们根据通项公式的定义,写出这四组等差数列的通项公式。
由学生经过分析写出通项公式:
① 这个数列的第一项是 5,第2 项是10(=5+5),第3 项是15(=5+5+5),第4 项是20
(=5+5+5+5),……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是a n n = 5
② 这个数列的第一项是48,第2 项是53(=48+5),第3 项是58(=48+5×2),第4 项
是63(=48+5×3),由此可以猜想得到这个数列的通项公式是a = 48 + 5(n −1) n
③ 这个数列的第一项是18,第2 项是15.5(=18-2.5),第3 项是13(=18-2.5×2),
第4 项是10.5(=18-2.5×3),第5 项是8(=18-2.5×4),第6 项是5.5(=18-2.5×5)由
此可以猜想得到这个数列的通项公式是a = 18 − 2.5(n −1) n
④ 这个数列的第一项是10072,第2 项是10144(=10172+72),第3 项是10216
(=10072+72×2),第4 项是10288(=10072+72×3),第5 项是10360(=10072+72×4),由
此可以猜想得到这个数列的通项公式是a = 10072 + 72(n −1) n
⑵、那么,如果任意给了一个等差数列的首项1 a 和公差d,它的通项公式是什么呢?
引导学生根据等差数列的定义进行归纳:
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2 1 , a − a = d
, 3 2 a − a = d
, 4 3 a − a = d

所以 , 2 1 a = a + d
, 3 2 a = a + d
, 4 3 a = a + d
……
思考:那么通项公式到底如何表达呢?
, 2 1 a = a + d
( ) 2 , 3 2 1 a = a + d = a + d + d = a + d
( 2 ) 3 , 4 3 1 a = a + d = a + d + d = a + d
……
得出通项公式:由此我们可以猜想得出:以1 a 为首项,d 为公差的等差数列{ } n a 的通项
公式为:a a n d n ( 1) 1 = + −
也就是说,只要我们知道了等差数列的首项1 a 和公差d,那么这个等差数列的通项n a 就
可以表示出来了。
选讲:除此之外,还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式:
(迭加法): { } n a 是等差数列,所以 , 1 a a d n n − = −
, 1 2 a a d n n − = − −
, 2 3 a a d n n − = − −
……
, 2 1 a − a = d
两边分别相加得 ( 1) , 1 a a n d n − = −
所以 a a n d n ( 1) 1 = + −
(迭代法):{ } n a 是等差数列,则有 a a d n n = + −1
(n-1)个等式
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a d d n = + + −2
a d n 2 2 = + −
a d d n 2 3 = + + −
a d n 3 3 = + −
……
a (n 1)d 1 = + −
所以 a a n d n ( 1) 1 = + −
[例题分析]
例1、⑴求等差数列8,5,2,…的第20 项.
⑵-401 是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项?
分析:⑴要求出第20 项,可以利用通项公式求出来。首项知道了,还需要知道的是该
等差数列的公差,由公差的定义可以求出公差;
⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中
的项,就是要看它是否满足该数列的通项公式,并且需要注意的是,项数是否有意义。
解:⑴由1 a =8,d=5-8=-3,n=20,得8 (21 1) ( 3) 49 20 a = + − × − = −
⑵由1 a =-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为a = −5 − 4(n −1) = −4n −1, n
由题意知,本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1 成立。
解这个关于n 的方程,得n=100,即-401 是这个数列的第100 项。
例题评述:从该例题中可以看出,等差数列的通项公式其实就是一个关于n a 、1 a 、d、
n(独立的量有3 个)的方程;另外,要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的
项,当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数,如果不是正整数,那么它就
不是数列中的项。
(放投影片)例2.某市出租车的计价标准为1.2 元/km,起步价为10 元,即最初的4km(不
含4 千米)计费10 元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地,且一路畅通,等
候时间为0,需要支付多少车费?
解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4km 时,每增加1km,乘客需要支付1.2
元.所以,我们可以建立一个等差数列{ } n a 来计算车费.
令1 a =11.2,表示4km 处的车费,公差d=1.2。那么当出租车行至14km 处时,n=11,
此时需要支付车费11.2 (11 1) 1.2 23.2( ) 11 a = + − × = 元
答:需要支付车费23.2 元。
例题评述:这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用,要学会从实际问题中抽象
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出等差数列模型,用等差数列的知识解决实际问题。
(放投影片)思考例题:例3 已知数列{ } n a 的通项公式为a pn q, n = + 其中p、q 为常数,
且p≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?
分析:判定{ } n a 是不是等差数列,可以利用等差数列的定义,也就是看−1 − n n a a (n
>1)是不是一个与n 无关的常数。
解:取数列{ } n a 中的任意相邻两项n n−1 a 与a (n>1),
求差得 a a pn q p n q pn q pn p q p n n − = + − − + = + − − + = − ( ) [ { 1) ] ( ] 1
它是一个与n 无关的数.
所以{ } n a 是等差数列。
课本左边“旁注”:这个等差数列的首项与公差分别是多少?
这个数列的首项a = p + q,公差d = p 1 。由此我们可以知道对于通项公式是形如
a pn q n = + 的数列,一定是等差数列,一次项系数p 就是这个等差数列的公差,首项是p+q.
例题评述:通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法:如果一个数列的通
项公式是关于正整数n 的一次型函数,那么这个数列必定是等差数列。
[探究]
引导学生动手画图研究完成以下探究:
⑴在直角坐标系中,画出通项公式为a = 3n − 5 n 的数列的图象。这个图象有什么特点?
⑵在同一个直角坐标系中,画出函数y=3x-5 的图象,你发现了什么?据此说一说等差数列
a pn q n = + 与一次函数y=px+q 的图象之间有什么关系。
分析:⑴n 为正整数,当n 取1,2,3,……时,对应的n a 可以利用通项公式求出。经过描
点知道该图象是均匀分布的一群孤立点;
⑵画出函数y=3x-5 的图象一条直线后发现数列的图象(点)在直线上,数列的图象是改一
次函数当x 在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论:等差数列
a pn q n = + 的图象是一次函数y=px+q 的图象的一个子集,是y=px+q 定义在正整数集上对
应的点的集合。
该处还可以引导学生从等差数列a pn q n = + 中的p 的几何意义去探究。
[随堂练习]
例1 之后:课本45 页“练习”第1 题;
例2 之后:课本45 页“练习”第2 题;
[课堂小结]
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本节主要内容为:
①等差数列定义:即a a d n n − = −1 (n≥2)
②等差数列通项公式: = n a a (n 1)d 1 + − (n≥1)
推导出公式:a a n m d n m = + ( − )
(五)评价设计
1、已知{ } n a 是等差数列.
⑴ 5 3 7 2a = a + a 是否成立? 5 1 9 2a = a + a 呢?为什么?
⑵ 1 1 2 1 n n n a a a n − + = + ( 〉 )是否成立?据此你能得出什么结论?
2 1 n nk nk a a a n − + = + ( 〉 )是否成立?据此你又能得出什么结论?
2、已知等差数列{ } n a 的公差为d.求证: m n a a d
m n

=

2.2 等差数列的前n 项和
(一)教学目标
1.知识与技能:通过实例,理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式;能在具
体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题;体会等差数列与一
次函数的关系。
2. 过程与方法:通过对历史有名的高斯求和的介绍,引导学生发现等差数列的第k 项与倒数
第k 项的和等于首项与末项的和这个规律;由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简
单的问题,进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中,通过类比函数概念、性
质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。
3.情态与价值:培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。
(二)教学重、难点
重点:探索并掌握等差数列的前n 项和公式;学会用公式解决一些实际问题,体会等差数列
的前n 项和与二次函数之间的联系。
难点:等差数列前n 项和公式推导思路的获得,灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单
的有关问题
(三)学法与教学用具
学法:讲练结合
教学用具:投影仪
(四)教学设想
[创设情景]
等差数列在现实生活中比较常见,因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的
问题。在200 多年前,历史上最伟大的数学家之一,被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演
了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时,高斯的数学老师提出了下面的问题:1+2+3+……
+100=?当时,当其他同学忙于把100 个数逐项相加时,10 岁的高斯却用下面的方法迅速算
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出了正确答案:(1+100)+(2+99)+……+(50+51)=101×50=5050
高斯的算法实际上解决了求等差数列1,2,3,…,n,…前100 项的和的问题。
今天我们就来学习如何去求等差数列的前n 项的和。
[探索研究]
我们先来看看人们由高斯求前100 个正整数的方法得到了哪些启发。人们从高斯那里受
到启发,于是用下面的这个方法计算1,2,3,…,n,…的前n 项的和:
由 1 + 2 + … + n-1 + n
n + n-1 + … + 2 + 1
(n+1)+(n+1)+ … +(n+1)+(n+1)
可知
2
1 2 3 ... n (n 1) n
+ ×
+ + + + =
上面这种加法叫“倒序相加法”
请同学们观察思考一下:高斯的算法妙在哪里?
高斯的算法很巧妙,他发现了整个数列的第k 项与倒数第k 项的和与首项与尾项的和是相
等的这个规律并且把这个规律用于求和中。这种方法是可以推广到求一般等差数列的前n
项和的。
[等差数列求和公式的教学]
一般地, 称n a + a + a + ... + a 1 2 3 为数列{ } n a 的前n 项的和, 用n S 表示, 即
n n S = a + a + a + ... + a 1 2 3
1、思考:受高斯的启示,我们这里可以用什么方法去求和呢?
思考后知道,也可以用“倒序相加法”进行求和。
我们用两种方法表示n S :
( ) ( 2 ) ... [ ( 1) ], 1 1 1 1 S a a d a d a n d n = + + + + + + + − ①
S a (a d) (a 2d) ... [a (n 1)d], n n n n n = + − + − + + − − ②
由①+②,得 2 n S = 1 n 1 n 1 n 1 n a + a a + a a + a a + a 􀀈􀀋􀀋􀀋􀀋􀀋􀀋􀀋􀀋􀀋􀀋􀀉􀀋􀀋􀀋􀀋􀀋􀀋􀀋􀀋􀀋􀀋􀀊
n个
( )+( )+( )+...+( )
( ) 1 n = n a + a
由此得到等差数列{ } n a 的前n 项和的公式
2
( ) 1 n
n
n a a
S
+
=
对于这个公式,我们知道:只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n
项和了。
2、除此之外,等差数列还有其他方法(读基础教好学生要介绍)
当然,对于等差数列求和公式的推导,也可以有其他的推导途径。例如:
1 2 3... n n S = a + a + a + a
= 1 1 1 1 a + (a + d) + (a + 2d) +...+[a + (n −1)d]
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= na1 +[d + 2d +...+ (n −1)d]
= 1 na +[1+ 2 +...+ (n −1)]d
= 1
( 1)
2
na n n d

+
这两个公式是可以相互转化的。把1 ( 1) n a = a + n − d 代入1 ( )
2
n
n
S n a a
+
= 中,就可以得
到1
( 1)
n 2
S na n n d

= +
引导学生思考这两个公式的结构特征得到:第一个公式反映了等差数列的任意的第k
项与倒数第k 项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n
项和与它的首项、公差之间的关系,而且是关于n 的“二次函数”,可以与二次函数进行比
较。这两个公式的共同点都是知道1 a 和n,不同点是第一个公式还需知道n a ,而第二个公
式是要知道d,解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。
[公式运用]
(课本52 页练习1、2)
1、根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{ } n a 的前n 项和S.
⑴ 1 8 a = −4,a = −18,n = 8;
⑵ 1 a =14.5 = 0.7 = 32 n ,d ,a ;
[例题分析]
例1、2000 年11 月14 日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某市
据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001 年起用10 年时间,在全市中小学建成不
同标准的校园网.据测算,2001 年该市用于“校校通”工程的经费为500 万元.为了保证工
程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50 万元.那么从2001 年起的未来10
年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?
⑴、先阅读题目;
⑵、引导学生提取有用的信息,构件等差数列模型;
⑶、写这个等差数列的首项和公差,并根据首项和公差选择前n 项和公式进行求解。
解:根据题意,从2001-2010 年,该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50
万元.所以,可以建立一个等差数列{ } n a ,表示从2001 年起各年投入的资金,其中
1 a = 500, d=50.
那么,到2010 年(n=10),投入的资金总额为
10 500 10 10 1 50 7250
n 2 S
× −
= × + × = ( )
(万元)
答:从2001~2010 年,该市在“校校通”工程中的总投入是7250 万元.
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例2.已知一个等差数列{ } n a 前10 项的和是310,前20 项的和是1220.由这些条件能确定
这个等差数列的前n 项和的公式吗?
引导学生分析得到:等差数列前n 项和公式就是一个关于n 1 a a n d 1 、、n或者a 、、的
方程。若要确定其前n 项求和公式,则要确定d 1 a 和的关系式,从而求得。
分析:将已知条件代入等差数列前n 项和的公式后,可得到两个关于1 a 与d 的二元一
次方程,由此可以求得1 a 与d,从而得到所求前n 项和的公式.
解:由题意知 10 S = 310, 20 S =1220,
将它们代入公式 1
1
n 2
S na n n d

= +( )

得到 1
1
10 45 310
20 190 1220
a d
a d
+ =
+ =

解这个关于1 a 与d 的方程组,得到1 a =4,d=6,
所以2 4 1 6 3
n 2
S n n n n n

= + × = + ( )
另解: 1
10 10 310
2
n S a a
+
= × =
得 1 10 a + a = 62; ①
1 20
20 20 1220
2
S a a
+
= × =
所以 1 20 a + a =122; ②
②-①,得10d = 60,
所以 d = 6
代入①得: 1 a = 4
所以有 2
1
1 3
n 2
S a n n n d n n

= + = + ( )
例题评述:此例题目的是建立等差数列前n 项和与解方程之间的联系.已知几个量,通
过解方程,得出其余的未知量.
例3 已知数列{ } n a 的前n 项为2 1
n 2 S = n + n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数
列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?
解:根据 1 2 1 ... n n n S a a a a − = + + + +
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与 1 1 2 1 ... n n S a a a − − = + + + (n 1)
可知,当n>1 时, 2 2
1
1 [ 1 1 1 ] 2 1
n n n 2 2 2 a S S n n n n n − = − = + −( − )+ ( − )= − ①
当n=1 时, 2
1 1
1 1 1 3
2 2
a = S = + × = 也满足①式.
所以数列{ } n a 的通项公式为
2 1
n 2 a = n − .
由此可知,数列{ } n a 是一个首项为
3
2
,公差为2 的等差数列。
这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前n 项和n S ,可求出通项
1
1
1
n
a n
S −
=
− n
( )
S
用这种数列的 n S 来确定n a 的方法对于任何数列都是可行的,而且还要注意1 a 不一定满
足由n n 1 n S S a − − = 求出的通项表达式,所以最后要验证首项1 a 是否满足已求出的n a .
思考:结合例3,思考课本51 页“探究”:一般地,如果一个数列{ } n a 的前n 项和为
2 . n S = pn + qn + r 其中p、q、r 为常数,且p≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果
是,它的首项与公差分别是什么?
引导分析得出: 观察等差数列两个前n 项和公式1
2
n
n
S a a n
+
= , 和
2
1 1
1
n 2 2 2
S a n n n d d n a d n

= + = + − ( )
( ) ,公式本身就不含常数项。
所以得到:如果一个数列前n 项和公式是常数项为0,且关于n 的二次型函数,则这个
数列一定是等差数列.
例4 已知等差数列
5 4 2 3 4
7 7
, , ,....的前n 项和为n S ,求使得n S 最大的序号n 的值.
分析:等差数列的前n 项和公式可以写成2
n 2 1 2
S = d n +(a − d)n ,所以n S 可以看成函
数2
2 1 2
y = d x + a − d ∈ * ( )x(x N)当x=n 时的函数值.另一方面,容易知道n S 关于n 的图
象是一条抛物线上的一些点.因此,我们可以利用二次函数来求n 的值.
解:由题意知,等差数列
5 4 2 3 4
7 7
, , ,....的公差为
5
7
− ,所以
[2 5 1 5 ]
n 2 7
S = n × +(n − )(− )
=
2
75 5 5 15 2 1125
14 14 2 56
n n n −
= − ( − )+

n a =
(n>1)
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于是,当n 取与
15
2
最接近的整数即7 或8 时, n S 取最大值.
[随堂练习]课本52 页“练习”第1、2、3、4 题
[补充练习]
1、已知数列{ }, n a 是等差数列,Sn 是其前n 项和,且S6,S12-S6,S18-S12 成等差数列,设
k k k k k k N S S S S S2 3 2 ∈ + , , − , − 成等差数列吗?
生:分析题意,解决问题.
解:设{ }, n a 首项是1 a ,公差为d
则: 6 1 2 3 4 5 6 S = a +a +a +a +a +a
为等差数列6 12 6 18 12
12 6
7 8 9 10 11 12
7 8 9 10 11 12
18 12 13 14 15 16 17 18
1 2 3 4 5 6 6
1 2 3 4 5 6
12 6 7 8 9 10 11 12
, ,
36
( ) 36
( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 )
( ) 36 36
( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 )
S S S S S
S S d
a a a a a a d
a d a d a d a d a d a d
S S a a a a a a
a a a a a a d S d
a d a d a d a d a d a d
S S a a a a a a
∴ − −
= − +
= + + + + + +
= + + + + + + + + + + +
− = + + + + +
= + + + + + + = +
= + + + + + + + + + + +
− = + + + + +
同理可得 k k k k k S S S S S2 3 2 , − , − 成等差数列.
2、求集合{mm = 7n,n∈ N* ,且m < 100}的元素个数,并求这些元素的和。
解由m=100,得
7
14 2
7
n < 100 =
满足此不等式的正整数n 共有14 个,所以集合m 中的元素共有14 个,从小到大可列为:
7,7×2,7×3,7×4,…7×14
即:7,14,21,28,…98
这个数列是等差数列,记为{ }, n a 其中735
2
7, 98 14 (7 98) 1 14 14 =
× +
a = a = ∴S =
解由m=100,得
7
14 2
7
n < 100 =
满足此不等式的正整数n 共有14 个,所以集合m 中的元素共有14 个,从小到大可列为:
7,7×2,7×3,7×4,…7×14 即:7,14,21,28,…98
这个数列是等差数列,记为{ }, n a 其中735
2
7, 98 14 (7 98) 1 14 14 =
× +
a = a = ∴S =
答:集合m 中共有14 个元素,它们和等于735
[课堂小结] 等差数列{ } n a 的前n 项和的公式
2
( ) 1 n
n
n a a
S
+
= 和1
( 1)
n 2
S na n n d −
= +
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k k k k k S S S S S2 3 2 , − , − 也成等差数列.
(五)评价设计
课本52 页A 组第1、3、6
思考:课本53 页B 组第4 题
2.4 等比数列
(一)教学目标
1`.知识与技能:理解等比数列的概念;掌握等比数列的通项公式;理解这种数列的模型
应用.
2.过程与方法:通过丰富实例抽象出等比数列模型,经历由发现几个具体数列的等比关
系,归纳出等比数列的定义,通过与等差数列的通项公式的推导类比,
探索等比数列的通项公式.
3.情态与价值:培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力.
(二)教学重、难点
重点:等比数列的定义和通项公式
难点:等比数列与指数函数的关系
(三)学法与教学用具
学法:首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型,从而归纳出等比数列的定义;与
等差数列通项公式的推导类比,推导等比数列通项公式。
教学用具:投影仪
(四)教学设想
[创设情景] 分析书上的四个例子,各写出一个数列来表示
[探索研究]
四个数列分别是①1, 2, 4, 8, …
②1,
2
1

4
1

8
1
,…
③1,20 ,202 ,203 ,…
④ 10000 × 1.0198,10000 × 1.01982,10000 × 1.01983
10000×1.01984,10000×1.01985
观察四个数列:
对于数列①,从第2 项起,每一项与前一项的比都等于2
对于数列②,从第2 项起,每一项与前一项的比都等于
2
1
对于数列③,从第2 项起,每一项与前一项的比都等于20
对于数列④,从第2 项起,每一项与前一项的比都等于1.0198
可知这些数列的共同特点:从第2 项起, 每一项与前一项的比都等于同一常数.
于是得到等比数列的定义:
一般地,如果一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这
个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示(q≠0)
因此,以上四个数列均是等比数列,公比分别是2,
2
1
,20,1.0198.
与等差中项类似,如果在a 与b 中间插入一个数G,使a,G,b 成等比数列,那么G 叫做
a 与b 的等差中项,这时,a,b 一定同号,G2=ab
在归纳等比数列公式时,让学生先回忆等差数列通项公式的归纳,类比这个过程,归
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纳如下:a2=a1q
a3=a2q=(a1q)q=a1q2
a4=a3q=(a1q2)q=a1q3
… …
可得 an=a1qn-1
上式可整理为an=
q
a1 qn 而y=
q
a1 qx(q≠1)是一个不为0 的常数
q
a1 与指数函数qx 的乘积,
从图象上看,表示数列 {
q
a1 qn }中的各项的点是函数 y=
q
a1 qx 的图象上的孤立点
[注意几点]
① 不要把 an 错误地写成an=a1qn
② 对于公比 q,要强调它是“从第2 项起,每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的比
的次序颠倒
③ 公比 q 是任意常数,可正可负
④ 首项和公比均不为 0
[例题分析]
例1 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84%.这
种物质的半衰期为多长(精确到1 年)?
评注:要帮助学生发现实际问题中数列的等比关系,抽象出数学模型;通项公式反映了数列的
本质特征,因此关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式an=a1qn-1
例2 根据图2.4-2 中的框图,写出所打印数列的前5 项,并建立数列的递推公式.这个数列
是等比数列吗?
评注:要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数n,
n
n
a
a +1 是一个常数就行了
例3 一个等比数列的第3 项和第4 项分别是12 和18,求它的第1 项和第2 项.
评注:帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系
例4 已知{a n }{bn}是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格,从中你能得出什
么结论?证明你的结论.
评注:两个等比数列的积仍然是等比数列
[随堂练习]第59 页第1、2、3 题
[课堂小结]
(1) 首项和公比都不为0
(2) 分别从定义、通项公式、相应图象的角度类比等差数列和等比数列
(五)评价设计
(1)课后思考:课本第59 页[探究]
(2)课后作业:第60 页第1、2、6 题
2.5 等比数列的前n 项和
(一)教学目标
1、知识与技能:掌握等比数列的前 n 项和公式,并用公式解决实际问题
2、过程与方法:由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前 n 项和公式
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第 40 页共 63 页
3、情态与价值:从“错位相减法”这种算法中,体会“消除差别”,培养化简的能力
(二)教学重、难点
重点:使学生掌握等比数列的前 n 项和公式,用等比数列的前n 项和公式解决实际问题
难点:由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前 n 项和公式
(三)学法与教学用具
学法:由等比数列的结构特点推导出前 n 项和公式,从而利用公式解决实际问题
教学用具:投影仪
(四)教学设想
教材开头的问题可以转化成求首项为1,公比为2 的等比数列的前64 项的和.类似于等差数
列,我们有必要探讨等比数列的前n 项和公式。
一般地,对于等比数列
a1,a2,a3,..., an,...
它的前 n 项和是
Sn= a1+a2+a3+...+an
由等比数列的通项公式,上式可以写成
Sn= a1+a1q + a1q2 +...+a1qn-1 ①
① 式两边同乘以公比 q 得
qSn= a1q+ a1q2 +...+a1qn-1+ a1qn ②
①,②的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,得
(1-q)Sn= a1-a1qn
当q≠1时,
Sn=
q
a qn


1
(1 ) 1 (q≠1)
又 an =a1qn-1 所以上式也可写成
Sn=
q
a a q n


1
1 (q≠1)
推导出等比数列的前 n 项和公式,本节开头的问题就可以解决了
[相关问题]
①当q=1 时,等比数列的前n 项和公式为Sn=na1
② 公式可变形为 Sn=
q
a qn


1
(1 ) 1 =
1
( 1) 1


q
a qn
(思考q>1 和q<1 时分别使用哪个方便)
③ 如果已知 a1, an,q,n,Sn 五个量中的任意三个就可以求出其余两个
[例题分析]
例1 求下列等比数列前8 项的和:
(1)
2
1
,
4
1
,
8
1
,...;
(2) a1=27, a9=
243
1
,q<0
评注:第(2)题已知a1=27,n=8,还缺少一个已知条件,由题意显然可以通过解方程求得
公比q,题设中要求q<0,一方面是为了简化计算,另一方面是想提醒学生q 既可以为正数,又
可以为负数.
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第 41 页共 63 页
例2 某商场今年销售计算机5000 台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,
那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000 台(结果保留到个位)?
评注:先根据等比数列的前n 项和公式列方程,再用对数的知识解方程
[随堂练习]第66 页第1.2.3 题
[课堂小结]
(1) 等比数列的前 n 项和公式中要求q≠1;这个公式可以变形成几个等价的式子
(2) 如果已知 a1, an,q,n,Sn 五个量中的任意三个就可以求出其余两个
(五)评价设计
(1)课后阅读:课本67 页[阅读与思考]
(2)课后作业:第69 页1,2,4 题
第三章 不等式
3.1 不等关系和不等式
(一)教学目标
1.知识与技能:使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,在学生了解
了一些不等式(组)产生的实际背景的前提下,学习不等式的有关内容。
2.过程与方法:以问题方式代替例题,学习如何利用不等式研究及表示不等式,利用不等式
的有关基本性质研究不等关系;
3.情态与价值:通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度,注重问题情
境、实际背景的的设置,通过学生对问题的探究思考,广泛参与,改变学生学习方式,提高
学习质量。
(二)教学重、难点
重点:用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的
问题,理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值。
难点:用不等式(组)正确表示出不等关系。
(三)教学设想
[创设问题情境]
问题1:设点A 与平面α 的距离为d,B 为平面α 上的任意一点,则d≤ AB 。
问题2:某种杂志原以每本2.5 元的价格销售,可以售出8 万本。根据市场调查,若单
价每提高0.1 元,销售量就可能相应减少2000 本。若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样
用不等式表示销售的总收入仍不低于20 万元?
分析:若杂志的定价为x 元,则销售的总收入为
8 2.5 0.2
0.1
x x ⎛ − ⎞ ⎜ − × ⎟
⎝ ⎠
万元。那么不等
关系“销售的总收入不低于20 万元”可以表示为不等式
8 2.5 0.2
0.1
x x ⎛ − ⎞ ⎜ − × ⎟
⎝ ⎠
≥20
问题3:某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种,按照生产的要
求,600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3 倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等
式呢?
分析:假设截得500mm 的钢管x 根,截得600mm 的钢管y 根..
根据题意,应有如下的不等关系:
(1)解得两种钢管的总长度不能超过4000mm;
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第 42 页共 63 页
(2)截得 600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3 倍;
(3)解得两钟钢管的数量都不能为负。
由以上不等关系,可得不等式组:
500 600 4000
3
0
0
x y
x y
x
y
+ ≤ ⎧⎪
≥ ⎪⎨
≥ ⎪⎪
⎩ ≥
[练习]:第82 页,第1、2 题。
[知识拓展]
设问:等式性质中:等式两边加(减)同一个数(或式子),结果仍相等。不等式是否
也有类似的性质呢?
从实数的基本性质出发,可以证明下列常用的不等式的基本性质:
(1)a > b,b > c⇒a > c
(2)a > b⇒a + c > b + c
(3)a > b,c > 0⇒ac > bc
(4)a > b,c < 0⇒ac < bc
证明:
(1) , 0, 0
( ) ( ) 0
0
a bb c a b b c
a b b c
a c a c
> > ⇒ − > − >
⇒ − + + >
⇒ − > ⇒ >
(2)(a + b) − (b + c) = a − b > 0⇒a + b > b + c
(3) , 0 0, 0
( ) 0
a bc a b c
a b c ac bc
ac bc
> > ⇒ − > >
⇒ − = − >
⇒ >
例1 讲解(第82 页)
[练习]:第82 页,第3 题。
[思考]:利用以上基本性质,证明不等式的下列性质:
(1) ,
(2) 0, 0
(3) 0, , 1 n n ; n n
a b c d a c b d
a b c d ac bd
a b n N n a b a b
> > ⇒ + > +
> > > > ⇒ >
> > ∈ > ⇒ > >
[小结]:1.现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系;
2.利用不等式的有关基本性质研究不等关系;
[作业]:习题3.1(第83 页):(A 组)4、5;(B 组)2.
3.2 一元二次不等式及其解法(3 课时)
(一)教学目标
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第 43 页共 63 页
1.知识与技能:从实际问题中建立一元二次不等式,解一元二次不等式;应用一元二次不等
式解决日常生活中的实际问题;能用一个程序框图把求解一般一元二次不等
式的过程表示出来;
2.过程与方法:通过学生感兴趣的上网问题引入一元二次不等式的有关概念,通过让学生比
较两种不同的收费方式,抽象出不等关系;利用计算机将数学知识用程序表
示出来;
3.情态与价值:培养学生通过日常生活中的例子,找到数学知识规率,从而在实际生活问题
中数形结合的应用以及计算机在数学中的应用。
(二)教学重、难点
重点:从实际问题中抽象出一元二次不等式模型,围绕一元二次不等式的解法展开,突出体
现数形结合的思想;
难点:理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
(四)教学设想
[创设情景]
通过让学生阅读第84 页的上网问题,得出一个关于x 的一元二次不等式,

x2 −5x < 0
[探索研究]
首先考察不等式x2 −5x < 0与二次函数y = x2 −5x以及一元二次方程x2 −5x = 0的
关系。
容易知道,方程x2 −5x = 0有两个实根: 1 2 x = 0, x = 5
由二次函数的零点与相应的一元二次方程根的关系, 知1 2 x = 0, x = 5 是二次函数
y = x2 − 5x的两个零点。通过学生画出的二次函数y = x2 − 5x的图象,观察而知,
当x < 0, x > 5时,函数图象位于x轴上方,此时y > 0,即x2 −5x > 0;
当0 < x < 5时,函数图象位于x轴下方,此时y < 0,即x2 − 5x < 0。
所以,一元二次不等式x2 −5x < 0的解集是{x 0 < x < 5}
从而解决了以上的上网问题。
[总结归纳]
上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式ax2 + bx + c > 0 或
ax2 + bx + c < 0(a > 0)的解集:可分Δ > 0,Δ = 0,Δ < 0三种情况来讨论。
引导学生将第86 页的表格填充完整。
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第 44 页共 63 页
[例题分析]:
一.分析、讲解例2 和例3,
练习:第89 页1.(1)、(3)、(5);2.(1)、(3)
二.分析、讲解例1 和例4
练习:第90 页(A 组)第5 题,(B 组)第4 题。
[知识拓展]:
下面利用计算器,用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来:
(见第86 页)
下面是具有一般形式ax2 + bx + c > 0 (a > 0) 对应的一元二次方程
ax2 + bx + c = 0(a > 0)的求根程序:
input “a,b,c=”;a,b,c
d=b*b-4*a*c
p=-b/(2*a)
q=sqr(abs(d))/(2*a)
if d<0 then
print “the result is R”
else
x1=p-q
x2=p+q
if x1=x2 then
print “the result is {x/x<> “;p,”}”
else
print “the result is {x/x> “;x2, “or x<”;x1,”}”
endif
endif
end
练习:第90 页(B 组)第3 题。
[新知小结]:
1. 从实际问题中建立一元二次不等式,解一元二次不等式;
2. 应用一元二次不等式解决日常生活中的实际问题;
3.能用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来:
[课后作业]:习题3.2(A 组)第1、2、6 题;(B 组)第1、2 题。
二元一次不等式(组)与平面区域
第一课时
(1)教学目标
(a)知识与技能:了解二元一次不等式组的相关概念,并能画出二元一次不等式(组)来
表示的平面区域
(b)过程与方法:本节课首先借助一个实例提出二元一次不等式组的相关概念,通过例子
说明如何用二元一次不等式(组)来表示的平面区域。始终渗透“直线定界,特殊点定域”
的思想,帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述结合图形的问题,使问题更清晰和准确。
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第 45 页共 63 页
教学中也特别提醒学生注意Ax + By +C > 0(或<0)表示区域时不包括边界,而
Ax + By +C ≥ 0(或≤ 0)则包括边界
(c)情感与价值:培养学生数形结合、化归、集合的数学思想
(2)教学重点、教学难点
教学重点:灵活运用二元一次不等式(组)来表示的平面区域
教学难点:如何确定不等式Ax + By +C > 0(或<0)表示Ax + By +C = 0的哪一侧区域
(3)学法与教学用具
启发学生观察图象,循序渐进地理解掌握相关概念。以学生探究为主,老师点拨为辅。学生
之间分组讨论,交流心得,分享成果,进行思维碰撞。同时可借助计算机等媒体工具来进行
演示。
直角板、投影仪(多媒体教室)
(4)教学设想
1、设置情境
提问:根据课本给出的实例,试用不等式来刻画资金分配的问题.
答:分析题意,我们可得到以下式子
⎪ ⎪

⎪ ⎪




+ ≥
+ ≤
0
0,
12 10 3000000
25000000,
y
x
x y
x y
引出:满足二元一次不等式(组)的x 和y 的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对
(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.有序实数对可以看成直角坐标平面内点
的坐标.于是, 二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合.
2、新课讲授
(1)问题: 二元一次不等式x − y < 6所表示的图形?
(2)尝试
在直角坐标系中,所有点被直线x − y = 6分成三类:
一类是在直线x − y = 6上;
二类是在直线x − y = 6左上方的区域内的点;
三类是在直线x − y = 6右上方的区域内的点.
设点P ( , ) 1 x y 是直线上的点,任取点A ( , ) 2 x y ,使它的坐标满足不等式x − y < 6,在图3.3-2
中标出点P 和点A.
(3)观察并讨论
我们发现,在直角坐标系中,以二元一次不等式x − y < 6的解为坐标的点都在直线的左上方;
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第 46 页共 63 页
反之,直线左上方点的坐标也满足不等式x − y < 6 .因此,在直角坐标系中,不等式
x − y < 6表示直线x − y = 6 左上方的平面区域.类似地, 不等式x − y > 6 表示直线
x − y = 6右上方的平面区域.我们称直线x − y = 6为这两个区域的边界.将直线x − y = 6
画成虚线,表示区域不包括边界.
(4)结论
一般地, 在直角坐标系中,二元一次不等式Ax + By + C > 0表示Ax + By + C = 0某侧所
有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线,表示区域不包括边界.
而不等式Ax + By + C ≥ 0表示区域时则包括边界,把边界画成实线.
(4)例1、画出x + 4y < 4表示的平面区域(见教材第94 页例1)
分析:画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界,特殊点定域”的方。特别是,
当C ≠ 0时,常把原点(0,0)作为测试点。
变式1: y ≤ x
例2:用平面区域表示不等式组(见教材第94 页例2)
⎩ ⎨ ⎧
<
< − +
x y
y x
2
3 12
的解集
分析:不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式
所表示的平面区域的公共部分。
变式1:
⎪⎩
⎪⎨


+ ≥
− + ≥
3
0,
5 0,
x
x y
x y
变式2、画出不等式(x + 2y +1)(x − y + 4) < 0表示的平面区域
3、课堂练习
课本第97 页练习1、2、3
4、归纳总结
(1) 懂得画出二元一次不等式Ax + By + C > 0(< 0)在平面区域中表示的图形
(2) 注意如何表示边界
(5)评价设计
1、课本第 105 页习题3.3 第1、2 题
2、由直线x + y + 2 = 0, x + 2y +1 = 0,2x + y +1 = 0围成的三角形区域(包括边界)用不
等式可表示为
二元一次不等式(组)与平面区域
第二课时
(1)教学目标
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第 47 页共 63 页
(a)知识与技能:懂得将实际问题转化为线性规划问题
(b)过程与方法:本节课是在学习了相关内容后的第二节课,学生已经学会了如何画出一
元二次不等式(组)所表示的平面区域.这节课主要是通过实际生活中的例子提供给学生应用
数学的实践机会。教师要善于引导学生思维,调动学习兴趣,让他们乐学并巧学,真切体会到
数学在生活中的妙用.针对本堂课的特点,采用多媒体教学可更好地促进教学双赢
(c)情感与价值:培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力,加强学生之间的合作互助精
神,并从数形结合中得到辨证唯物主义的思想教育
(2)教学重点、教学难点
教学重点:探讨如何将实际问题转化为线性规划问题
教学难点:如何将实际问题转化为线性规划问题
(3)学法与教学用具
通过分组讨论,让学生在活动中学会沟通和合作,提高分析和处理信息的能力.充分尊重学生
的自主性,以学生探究为主,教师点拨为辅,重在培养创新
直角板、投影仪(多媒体教室)
(4)教学设想
4、设置情境
提问:前面我们学习了如何测量距离和高度,这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角
求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题,在浩瀚无垠的海面上
如何确保轮船不迷失方向,保持一定的航速和航向呢?今天我们接着探讨这方面的测量问
题。
5、新课讲授
例1、(幻灯片放映)某人准备投资1200 万元兴办一所完全学校,对教育市场进行调查后,
他得到了下面的数据表格(以班级为单位)
分别用数学关系式来表示上述限制条件
学段 班级学生数 配备教师数硬件建设(万元) 教师年薪(万元)
初中 45 2 26/班 2/人
高中 40 3 54/班 2/人
请学生分组讨论, 寻找共同点,汇总结论,互相补充,得到正确解答
解:设开设初中班x 个,高中班y 个,根据题意,总共招生班数应限制在20 到30 之间,
所以有 20 ≤ x + y ≤ 30
考虑到所投资金的限制,得到
26x + 54y + 2× 2x + 2×3y ≤1200,
即 x + 2y ≤ 40
另外,开设的班数不能为负,则
x ≥ 0, y ≥ 0
把上面四个不等式合在一起,得到
(学生口答)
新人教高中数学必修5 教案全集
第 48 页共 63 页
20 30,
2 40,
0,
0
x y
x y
x
y
≤ + ≤ ⎧⎪
+ ≤ ⎪⎨
≥ ⎪⎪
⎩ ≥
根据限制条件画出图形
例2、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t 、
硝酸盐18 t;生产1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t 、硝酸盐15 t。现库存磷
酸盐10t 、硝酸盐66 t,在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系
式,并画出相应的平面区域。
解:设x、y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数,于是满足以下条件:
4 10,
18 15 66,
0,
0
x y
x y
x
y
+ ≤ ⎧⎪
+ ≤ ⎪⎨
≥ ⎪⎪
⎩ ≥
在直角坐标系中画出平面区域。
总结:学生分组讨论后,对结果进行汇总时,老师要对学生展示的成果进行点评,针对学习
过程中出现的常见错误给予指正。
6、课堂练习
课本第97 页练习4
4、归纳总结
解线性规划的应用题时,主要是认真分清题意,将题目条件准确地转化为一元二次方程组,
并根据约束条件画出平面区域
(5)评价设计
1、课本第 97 页练习第9、10、11 题
2、课本第116 页复习参考题B 组第5 题
简单的线性规划问题
第三课时
(1)教学目标
(a) 知识和技能:了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、
最优解等概念;了解线性规划的图解法,并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值
(b)过程与方法:本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础,将实际生活问
题通过数学中的线性规划问题来解决。考虑到学生的知识水平和消化能力,教师可通过激励
学生探究入手,讲练结合,真正体现数学的工具性。同时,可借助计算机的直观演示可使教
学更富趣味性和生动性
(c)情感与价值:渗透集合、数形结合、化归的数学思想,培养学生“数形结合”的应用数
学的意识;激发学生的学习兴趣
(2)教学重点、教学难点
教学重点:线性规划的图解法
教学难点:寻求线性规划问题的最优解
(3)学法与教学用具
通过让学生观察、讨论、辨析、画图,亲身实践,调动多感官去体验数学建模的思想;学生
要学会用“数形结合”的方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系
直角板、投影仪,计算机辅助教材
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第 49 页共 63 页
(4)教学设想
4、设置情境
师:在生活、生产中,经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题,如教材第98
页所例(投影)
(板书)设甲、乙两种产品分别生产x、y 件,由已知条件可的二元一次不等式组:

2 8,
4 16,
4 12,
0
0
x y
x
y
x
y
+ ≤ ⎧⎪
≤ ⎪⎪
≤ ⎨⎪
⎪ ≥
≥ ⎪⎩
将上述不等式组表示成平面上的区域,如图3.3-9 中阴影部分的整
点。
5、新课讲授
(1)尝试
若生产一件甲产品获利2 万元,生产一件乙产品获利3 万元,采用哪种生产安排利润最大?
设生产甲产品x 乙产品y 件时,工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样,上述问题就转化为:
当x、y 满足不等式※并且为非负整数时,z 的最大值是多少?
① 变形— — 把
2 3 2
3 3
z = x + y转变为y = − x + z , 这是斜率为
2
3
− z
,在y轴上的截距为的直线
3
;当z 变化时,可以得到一组互相平行的直线;
2
3 3
当直线y = − x + z 与不等式组确定的平面区域内有公共点时,在区域内找一个点
P,使直线经点P 时截距
3
z
最大
② 平移——通过平移找到满足上述条件的直线
③ 表述——找到给M(4,2)后,求出对应的截距及z 的值
(2)概念引入
(学生阅读并填空)
2 8,
4 16,
4 12,
0
0
x y
x
y
x
y
+ ≤ ⎧⎪
≤ ⎪⎪
≤ ⎨⎪
⎪ ≥
≥ ⎪⎩
若z = 2x + 3y ,式中变量x、y 满足上面不等式组,则不等式组叫做变量x、
y 的约束条件 ,z = 2x + 3y 叫做目标函数;又因为这里的z = 2x + 3y 是关于变量x、y
的一次解析式,所以又称为线性目标函数。满足线性约束条件的解叫做可行解,由所有可行
解组成的集合叫做可行域;其中使目标函数取得最大值的可行解(4,2)叫做最优解,
(3)变式
若生产一件甲产品获利3 万元,生产一件乙产品获利2 万元,问如何安排生产才能获得最大
利润?
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第 50 页共 63 页
(4)例1、设z = 2x + y ,式中变量x、y 满足下列条件
4 3
3 5 25
1
x y
x y
x
− ≤ − ⎧⎪
+ ≤ ⎨⎪
⎩ ≥
,求z 的最大值和
最小值
① 指出线性约束条件和线性目标函数
② 画出可行域的图形
③ 平移直线y = −2x + z ,在可行域内找到最优解
(5)提问:由此看出,你能找出最优解和可行域之间的关系吗?
6、课堂练习
课本第103 页练习第1 题
4、归纳总结
了解线性规划问题的有关概念,掌握线性规划问题的图解法,懂得寻求实际问题的最优解
(5)评价设计
1、课本第 105 页习题3.3 第1、2 题
2、思考题:若将例1 中的z 的目标函数改为z = x2 + y2 ,求z 的最大值和最小值
简单的线性规划问题
第四课时
(1)教学目标
(a)知识和技能:能够运用线性规划的图解法解决一些生活中的简单最优问题
(b)过程与方法:将实际问题中错综复杂的条件列出目标函数和约束条件对学生而言是一个
难点,若要突破这个难点,教师在讲授中要根据学生的认知情况,引导学生建立数学模型;
同时,要给学生正确的示范,利用精确的图形并结合推理计算求解
(c)情感与价值:培养学生学数学、用数学的意识,并进一步提高解决问题的的能力
(2)教学重点、教学难点
教学重点:把实际问题转化成线性规划问题,即建立数学模型,并相应给出正确的解答
教学难点:建立数学模型,并利用图解法找最优解
(3)学法与教学用具
学生在建立数学模型中,应主要分清已知条件中,哪些属于约束条件,哪些与目标函数有关,
列出正确的不等式组。可采用分组讨论,各组竞争,自主总结,部分同学示范画图等方式,
让学生更切身地在活动中探索出建模的一般规律,并在交流中找到自己的思维漏洞
直角板、投影仪
(4)教学设想
7、设置情境
前面我们已经学习了线性规划问题的有关概念和解法,现在让我们一起来复习一下
8、新课讲授
例1、营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物,0.06kg 的
蛋白质,0.06kg 的脂肪.1kg 的食物A 含有0.105kg 的碳水化合物,0.07kg 蛋白质,0.14kg 脂
肪,花费28 元;而1kg 食物B 含有0.105kg 碳水化合物,0.14kg 蛋白质,0.07kg 脂肪,花费21
元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时花费最低,需要同时食用食物A 和食物B 多
少kg?
食物(kg) 碳水化合物(kg) 蛋白质(kg) 脂肪(kg)
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A 0.105 0.07 0.14
B 0.105 0.14 0.07
分析:①先将数据整理列表, 请学生回答总成本与A、B 食物的含量之间的关系,进一步确立
变量和目标函数
②分析约束条件, 请学生回答总成本与A、B 食物的含量变化而变化,这两者的含量
是否任意变化,受什么因素制约?列出约束条件
③图解法求解
④老师引导,学生分组讨论后,交流心得,总结出解线性规划应用题的一般步骤
例2、在上一节例3 中,若根据有关部门的规定,初中每人每年可收取1600 元,高中每人
每年可收取学费2700 元。那么开设初中班和高中班各多少个,每年收取的学费总额最多?
解:设开设初中班x 个,高中班y 个,收取的学费总额为z 万元。
此时,目标函数为z = 0.16×45x + 0.27×40y ,画出可行域。把z = 7.2x +10.8y 变
形为
2 5
3 54
y = − x + z ,得到斜率为
2
3
− ,在y 轴上的截距为
5
54
z ,随z 变化的一组平行
直线。由此观察出,当直线z = 7.2x +10.8y 经过可行域上的点M 时,截距为
5
54
z 最大,
即z 最大。
解方程组
30,
2 40
x y
x y
+ = ⎧⎨
⎩ + =
得M 的坐标为
max
20, 10,
7.2 10.8 252
x y
z x y
= =
所以, = + =
由此可知,开设20 个初中班和10 个高中班,收取的学费最多,为252 万元。
例3、在上一节例4 中,若生产1 车皮甲种肥料,产生的利润为10000 元;生产1 车皮乙种
肥料,产生的利润为5000 元。那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的
利润?
解:设生产甲种肥料x 车皮、乙种肥料y 车皮,能够产生利润z 万元。目标函数为
z = x + 0.5y ,画出可行域。
把z = x + 0.5y 变形为y = −2x + 2z ,得到斜率为−2,在y 轴上的截距为2z ,随
z 变化的一组平行直线。由此观察出,当直线y = −2x + 2z 经过可行域上的点M 时,截距2z
为最大,即z 最大。
解方程组
18 15 66,
4 10
x y
x y
+ = ⎧⎨
⎩ + =
得M 的坐标为
max
2, 2,
0.5 3
x y
z x y
= =
所以, = + =
由此可知,生产甲、乙两种肥料各2 车皮,能够产生最大的利润,最大利润为3 万元。
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第 52 页共 63 页
小结:这两道例题在前面的内容中已经研究过约束条件以及相应的图象,于是在复习原有知
识的基础上再列出目标函数,利用直线平移法求出最大(最小)截距,进而求解
9、课堂练习
课本第103 页第2 题
4、归纳总结
解线性规划应用题的一般步骤:设出所求的未知数;列出约束条件;建立目标函数;作出可
行域;运用平移法求出最优解。
(5)评价设计
1、课本第 105 页第3、4 题
2、某家具厂有方木材90m2 ,五合板600m2,准备加工成书桌和书橱出售,已知生产每张书
桌需要方木材0.1m2、五合板2m2,生产每个书橱需要方木料0.2m2、五合板1m2 ,出售
一张书桌可获利润80 元,出售一个书橱可获利润120 元,如果只安排生产书桌,可获利润多少?
如果只安排生产书橱,可获利润多少?怎样安排生产可使得利润最大?
答:24000 元,54000 元,56000 元
基本不等式
第一课时
(1)教学目标
(a)知识与技能:理解两个实数的平方和不小于它们之积的2 倍的不等式的证明;理解两个
正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释
(b)过程与方法 :本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方
面深入地探究不等式的证明,从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理
解,并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性,老师要帮助学生分
析每一步的理论依据,培养学生良好的数学品质
(c)情感与价值:培养学生举一反三的逻辑推理能力,并通过不等式的几何解释,丰富学生
数形结合的想象力
(2)教学重点、难点
教学重点:两个不等式的证明和区别
教学难点:理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵
(3)学法与教学用具
先让学生观察常见的图形,通过面积的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题还原
出数学本质,可积极调动地学生的学习热情。定理的证明要留给学生充分的思考空间,让他
们自主探究,通过类比得到答案
直角板、圆规、投影仪(多媒体教室)
(4)教学设想
1、设置情境
(投影出图3.4-1)同学们,这是北京召开的第24 届国际数学家大会的会标,大家想一想,你
能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗?
提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD 中有4 个全等的直角三角形.设
直角三角形的长为a 、b ,那么正方形的边长为多少?面积为多少呢?
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第 53 页共 63 页
生答: a2 +b 2 ,a2 +b 2
提问2:那4 个直角三角形的面积和呢?
生答: 2ab
提问3:好,根据观察4 个直角三角形的面积和正方形的面积,我们可得容易得到一个不等
式,a2 +b 2 ≥ 2ab 。什么时候这两部分面积相等呢?
生答:当直角三角形变成等腰直角三角形,即a = b 时,正方形EFGH 变成一个点,这时有
a2 +b 2 = 2ab
2、新课讲授
(1)(板书)一般地,对于任意实数 a 、b ,我们有a2 +b 2 ≥ 2ab ,当且仅当a = b 时,
等号成立。
提问4:你能给出它的证明吗?
(学生尝试证明后口答,老师板书)
证明: a2 +b 2 − 2ab = (a −b)2 ,当a ≠ b时,(a −b)2 > 0,当a = b时,(a −b)2 = 0,
所以 a2 +b 2 ≥ 2ab
注意强调 当且仅当a = b 时, a2 +b 2 = 2ab
(2)特别地,如果a > 0,b > 0,用a和b分别代替a、b,可得a +b ≥ 2 ab ,也可写成
( 0, 0)
2
ab a b a b
+
≤ > > ,引导学生利用不等式的性质推导
(板书,请学生上台板演):
要证: ( 0, 0)
2
a b ab a b
+
≥ > > ①
即证 a +b ≥ ②
要证②,只要证 a +b − ≥ 0 ③
要证③,只要证 ( - ) 2 ≥ 0 ④
显然, ④是成立的,当且仅当a = b 时, ④的等号成立
(3)观察图形3.4-3,得到不等式①的几何解释
(4)变式练习:
已知x、y都是正数,求证:
① 如果积xy 是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2 p
② 如果和x + y S 2 1
是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值
4
7、课堂练习
课本第113 页练习第1 题
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第 54 页共 63 页
8、 归纳总结
比较两个重要不等式的联系和区别
(5)评价设计
3、课本第 113 页习题3.4 第1 题
4、思考题:若
x 0, x 1
x
< 求+ 的最大值
基本不等式
第二课时
(1)教学目标
(a)知识与技能:能够运用基本不等式解决生活中的应用问题
(b)过程与方法:本节课是基本不等式应用举例的延伸。整堂课要围绕如何引导学生分析
题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。3 道例题的安排从易到难、从简单到复
杂,适应学生的认知水平。教师要根据课堂情况及时提出针对性问题,同时通过学生的解题
过程进一步发现学生的思维漏洞,纠正数学表达中的错误
(c)情感与价值:进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性
(2)教学重点、教学难点
教学重点:正确运用基本不等式
教学难点:注意运用不等式求最大(小)值的条件
(3)学法与教学用具
列出函数关系式是解应用题的关键,也是本节要体现的技能之一。对例题的处理可让学生思
考,然后师生共同对解题思路进行概括总结,使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和
步骤。
直尺和投影仪
(4)教学设想
1、设置情境
提问:前一节课我们已经学习了基本不等式,我们常把
2
a +b
叫做正数a、b 的算术平均数,
把ab 叫做正数a、b 的几何平均数。今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。
2、新课讲授
例1、(1)用篱笆围一个面积为100m 2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所
用的篱笆最短,最短的篱笆是多少?
(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面
积最大。最大面积是多少?
分析:(1)当长和宽的乘积确定时,问周长最短就是求长和宽和的最小值
(2)当长和宽的和确定时,求长与宽取何值时两者乘积最大
解:(1)设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则xy =100, 篱笆的长为2(x + y )m

2
x y xy
+
≥ ,
可得 x + y ≥ 2 100
2(x + y )≥ 40
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等号当且仅当x = y时成立,此时x = y =10,因此,这个矩形的长、宽为10 m 时,所用
篱笆最短,最短篱笆为40m
(2)设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则2(x + y )=36,x + y =18,矩形菜园的面积为
xy m 2,

18 9,
2 2
xy x y
+
≤ = = 可得 xy ≤ 81,
可得等号当且仅当x = y时成立,此时x = y = 9
因此,这个矩形的长、宽都为9 m时,菜园的面积最大,最大面积为81m 2
例2、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池,其容积为4800 m3 , 深为3 m。如果池底每平
方米的造价为150 元,池壁每平方米的造价为120 元,怎样设计水池能使总造价最低?最低
造价为多少元?
分析:若底面的长和宽确定了,水池的造价也就确定了,因此可转化为考察底面的长和宽各
为多少时,水池的总造价最低。
解:设底面的长为x m,宽为y m, 水池总造价为z 元,根据题意,有
150 4800 120(2 3 2 3 )
3
z = × + × x + × y
= 240000 + 720(x + y )
由容积为4800m 3 , 可得
3xy = 4800
因此
xy =1600
由基本不等式与不等式性质,可得
240000 + 720(x + y ) ≥ 240000 + 720× 2 xy
即 z ≥ 240000 + 720× 2 1600
z ≥ 297600
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可得等号当且仅当x = y时成立,此时x = y = 40
所以,将水池的地面设计成边长为40 m 的正方形时总造价最低,最低造价为297600 元
3、课堂练习
课本第113 页练习第2、3、4 题
4、归纳总结
利用基本不等式来解题时,要学会审题及根据题意列出函数表达式,要懂得利用基本不等式
来求最大(小)值
(5)评价设计
1、 课本第 113 页习题3.4 第2、3、4 题
简单的线性规划问题
第三课时
(1)教学目标
(b) 知识和技能:了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、
最优解等概念;了解线性规划的图解法,并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值
(b)过程与方法:本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础,将实际生活问
题通过数学中的线性规划问题来解决。考虑到学生的知识水平和消化能力,教师可通过激励
学生探究入手,讲练结合,真正体现数学的工具性。同时,可借助计算机的直观演示可使教
学更富趣味性和生动性
(c)情感与价值:渗透集合、数形结合、化归的数学思想,培养学生“数形结合”的应用数
学的意识;激发学生的学习兴趣
(2)教学重点、教学难点
教学重点:线性规划的图解法
教学难点:寻求线性规划问题的最优解
(3)学法与教学用具
通过让学生观察、讨论、辨析、画图,亲身实践,调动多感官去体验数学建模的思想;学生
要学会用“数形结合”的方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系
直角板、投影仪,计算机辅助教材
(4)教学设想
10、设置情境
师:在生活、生产中,经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题,如教材第98
页所例(投影)
(板书)设甲、乙两种产品分别生产x、y 件,由已知条件可的二元一次不等式组:

2 8,
4 16,
4 12,
0
0
x y
x
y
x
y
+ ≤ ⎧⎪
≤ ⎪⎪
≤ ⎨⎪
⎪ ≥
≥ ⎪⎩
将上述不等式组表示成平面上的区域,如图3.3-9 中阴影部分的整
点。
11、新课讲授
(1)尝试
若生产一件甲产品获利2 万元,生产一件乙产品获利3 万元,采用哪种生产安排利润最大?
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第 57 页共 63 页
设生产甲产品 x 乙产品y 件时,工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样,上述问题就转化为:
当x、y 满足不等式※并且为非负整数时,z 的最大值是多少?
④ 变形— — 把
2 3 2
3 3
z = x + y转变为y = − x + z , 这是斜率为
2
3
− z
,在y轴上的截距为的直线
3
;当z 变化时,可以得到一组互相平行的直线;
2
3 3
当直线y = − x + z 与不等式组确定的平面区域内有公共点时,在区域内找一个点
P,使直线经点P 时截距
3
z
最大
⑤ 平移——通过平移找到满足上述条件的直线
⑥ 表述——找到给M(4,2)后,求出对应的截距及z 的值
(2)概念引入
(学生阅读并填空)
2 8,
4 16,
4 12,
0
0
x y
x
y
x
y
+ ≤ ⎧⎪
≤ ⎪⎪
≤ ⎨⎪
⎪ ≥
≥ ⎪⎩
若z = 2x + 3y ,式中变量x、y 满足上面不等式组,则不等式组叫做变量x、
y 的约束条件 ,z = 2x + 3y 叫做目标函数;又因为这里的z = 2x + 3y 是关于变量x、y
的一次解析式,所以又称为线性目标函数。满足线性约束条件的解叫做可行解,由所有可行
解组成的集合叫做可行域;其中使目标函数取得最大值的可行解(4,2)叫做最优解,
(3)变式
若生产一件甲产品获利3 万元,生产一件乙产品获利2 万元,问如何安排生产才能获得最大
利润?
(4)例1、设z = 2x + y ,式中变量x、y 满足下列条件
4 3
3 5 25
1
x y
x y
x
− ≤ − ⎧⎪
+ ≤ ⎨⎪
⎩ ≥
,求z 的最大值和
最小值
④ 指出线性约束条件和线性目标函数
⑤ 画出可行域的图形
⑥ 平移直线y = −2x + z ,在可行域内找到最优解
(5)提问:由此看出,你能找出最优解和可行域之间的关系吗?
12、课堂练习
课本第103 页练习第1 题
4、归纳总结
了解线性规划问题的有关概念,掌握线性规划问题的图解法,懂得寻求实际问题的最优解
(5)评价设计
1、课本第 105 页习题3.3 第1、2 题
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第 58 页共 63 页
2、思考题:若将例1 中的z 的目标函数改为z = x2 + y2 ,求z 的最大值和最小值
简单的线性规划问题
第四课时
(1)教学目标
(a)知识和技能:能够运用线性规划的图解法解决一些生活中的简单最优问题
(b)过程与方法:将实际问题中错综复杂的条件列出目标函数和约束条件对学生而言是一个
难点,若要突破这个难点,教师在讲授中要根据学生的认知情况,引导学生建立数学模型;
同时,要给学生正确的示范,利用精确的图形并结合推理计算求解
(c)情感与价值:培养学生学数学、用数学的意识,并进一步提高解决问题的的能力
(2)教学重点、教学难点
教学重点:把实际问题转化成线性规划问题,即建立数学模型,并相应给出正确的解答
教学难点:建立数学模型,并利用图解法找最优解
(3)学法与教学用具
学生在建立数学模型中,应主要分清已知条件中,哪些属于约束条件,哪些与目标函数有关,
列出正确的不等式组。可采用分组讨论,各组竞争,自主总结,部分同学示范画图等方式,
让学生更切身地在活动中探索出建模的一般规律,并在交流中找到自己的思维漏洞
直角板、投影仪
(4)教学设想
13、设置情境
前面我们已经学习了线性规划问题的有关概念和解法,现在让我们一起来复习一下
14、新课讲授
例1、营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物,0.06kg 的
蛋白质,0.06kg 的脂肪.1kg 的食物A 含有0.105kg 的碳水化合物,0.07kg 蛋白质,0.14kg 脂
肪,花费28 元;而1kg 食物B 含有0.105kg 碳水化合物,0.14kg 蛋白质,0.07kg 脂肪,花费21
元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时花费最低,需要同时食用食物A 和食物B 多
少kg?
食物(kg) 碳水化合物(kg) 蛋白质(kg) 脂肪(kg)
A 0.105 0.07 0.14
B 0.105 0.14 0.07
分析:①先将数据整理列表, 请学生回答总成本与A、B 食物的含量之间的关系,进一步确立
变量和目标函数
②分析约束条件, 请学生回答总成本与A、B 食物的含量变化而变化,这两者的含量
是否任意变化,受什么因素制约?列出约束条件
③图解法求解
④老师引导,学生分组讨论后,交流心得,总结出解线性规划应用题的一般步骤
例2、在上一节例3 中,若根据有关部门的规定,初中每人每年可收取1600 元,高中每人
每年可收取学费2700 元。那么开设初中班和高中班各多少个,每年收取的学费总额最多?
解:设开设初中班x 个,高中班y 个,收取的学费总额为z 万元。
此时,目标函数为z = 0.16×45x + 0.27× 40y ,画出可行域。把z = 7.2x +10.8y 变
形为
2 5
3 54
y = − x + z ,得到斜率为
2
3
− ,在y 轴上的截距为
5
54
z ,随z 变化的一组平行
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直线。由此观察出,当直线z = 7.2x +10.8y 经过可行域上的点M 时,截距为
5
54
z 最大,
即z 最大。
解方程组
30,
2 40
x y
x y
+ = ⎧⎨
⎩ + =
得M 的坐标为
max
20, 10,
7.2 10.8 252
x y
z x y
= =
所以, = + =
由此可知,开设20 个初中班和10 个高中班,收取的学费最多,为252 万元。
例3、在上一节例4 中,若生产1 车皮甲种肥料,产生的利润为10000 元;生产1 车皮乙种
肥料,产生的利润为5000 元。那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的
利润?
解:设生产甲种肥料x 车皮、乙种肥料y 车皮,能够产生利润z 万元。目标函数为
z = x + 0.5y ,画出可行域。
把z = x + 0.5y 变形为y = −2x + 2z ,得到斜率为−2,在y 轴上的截距为2z ,随
z 变化的一组平行直线。由此观察出,当直线y = −2x + 2z 经过可行域上的点M 时,截距2z
为最大,即z 最大。
解方程组
18 15 66,
4 10
x y
x y
+ = ⎧⎨
⎩ + =
得M 的坐标为
max
2, 2,
0.5 3
x y
z x y
= =
所以, = + =
由此可知,生产甲、乙两种肥料各2 车皮,能够产生最大的利润,最大利润为3 万元。
小结:这两道例题在前面的内容中已经研究过约束条件以及相应的图象,于是在复习原有知
识的基础上再列出目标函数,利用直线平移法求出最大(最小)截距,进而求解
15、课堂练习
课本第103 页第2 题
4、归纳总结
解线性规划应用题的一般步骤:设出所求的未知数;列出约束条件;建立目标函数;作出可
行域;运用平移法求出最优解。
(5)评价设计
1、课本第 105 页第3、4 题
2、某家具厂有方木材90m2 ,五合板600m2,准备加工成书桌和书橱出售,已知生产每张书
桌需要方木材0.1m2、五合板2m2,生产每个书橱需要方木料0.2m2、五合板1m2 ,出售
一张书桌可获利润80 元,出售一个书橱可获利润120 元,如果只安排生产书桌,可获利润多少?
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第 60 页共 63 页
如果只安排生产书橱,可获利润多少?怎样安排生产可使得利润最大?
答:24000 元,54000 元,56000 元
基本不等式
第一课时
(1)教学目标
(a)知识与技能:理解两个实数的平方和不小于它们之积的2 倍的不等式的证明;理解两个
正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释
(b)过程与方法 :本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方
面深入地探究不等式的证明,从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理
解,并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性,老师要帮助学生分
析每一步的理论依据,培养学生良好的数学品质
(c)情感与价值:培养学生举一反三的逻辑推理能力,并通过不等式的几何解释,丰富学生
数形结合的想象力
(2)教学重点、难点
教学重点:两个不等式的证明和区别
教学难点:理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵
(3)学法与教学用具
先让学生观察常见的图形,通过面积的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题还原
出数学本质,可积极调动地学生的学习热情。定理的证明要留给学生充分的思考空间,让他
们自主探究,通过类比得到答案
直角板、圆规、投影仪(多媒体教室)
(4)教学设想
1、设置情境
(投影出图3.4-1)同学们,这是北京召开的第24 届国际数学家大会的会标,大家想一想,你
能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗?
提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD 中有4 个全等的直角三角形.设
直角三角形的长为a 、b ,那么正方形的边长为多少?面积为多少呢?
生答: a2 +b 2 ,a2 +b 2
提问2:那4 个直角三角形的面积和呢?
生答: 2ab
提问3:好,根据观察4 个直角三角形的面积和正方形的面积,我们可得容易得到一个不等
式,a2 +b 2 ≥ 2ab 。什么时候这两部分面积相等呢?
生答:当直角三角形变成等腰直角三角形,即a = b 时,正方形EFGH 变成一个点,这时有
a2 +b 2 = 2ab
2、新课讲授
(1)(板书)一般地,对于任意实数 a 、b ,我们有a2 +b 2 ≥ 2ab ,当且仅当a = b 时,
等号成立。
提问4:你能给出它的证明吗?
(学生尝试证明后口答,老师板书)
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第 61 页共 63 页
证明: a2 +b 2 − 2ab = (a −b )2 ,当a ≠ b时,(a −b)2 > 0,当a = b时,(a −b)2 = 0,
所以 a2 +b 2 ≥ 2ab
注意强调 当且仅当a = b 时, a2 +b 2 = 2ab
(2)特别地,如果a > 0,b > 0,用a和b分别代替a、b,可得a +b ≥ 2 ab ,也可写成
( 0, 0)
2
ab a b a b
+
≤ > > ,引导学生利用不等式的性质推导
(板书,请学生上台板演):
要证: ( 0, 0)
2
a b ab a b
+
≥ > > ①
即证 a +b ≥ ②
要证②,只要证 a +b − ≥ 0 ③
要证③,只要证 ( - ) 2 ≥ 0 ④
显然, ④是成立的,当且仅当a = b 时, ④的等号成立
(3)观察图形3.4-3,得到不等式①的几何解释
(4)变式练习:
已知x、y都是正数,求证:
③ 如果积xy 是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2 p
④ 如果和x + y S 2 1
是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值
4
9、课堂练习
课本第113 页练习第1 题
10、归纳总结
比较两个重要不等式的联系和区别
(5)评价设计
5、课本第 113 页习题3.4 第1 题
6、思考题:若
x 0, x 1
x
< 求+ 的最大值
基本不等式
第二课时
(1)教学目标
(a)知识与技能:能够运用基本不等式解决生活中的应用问题
(b)过程与方法:本节课是基本不等式应用举例的延伸。整堂课要围绕如何引导学生分析
题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。3 道例题的安排从易到难、从简单到复
杂,适应学生的认知水平。教师要根据课堂情况及时提出针对性问题,同时通过学生的解题
过程进一步发现学生的思维漏洞,纠正数学表达中的错误
(c)情感与价值:进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性
新人教高中数学必修5 教案全集
第 62 页共 63 页
(2)教学重点、教学难点
教学重点:正确运用基本不等式
教学难点:注意运用不等式求最大(小)值的条件
(3)学法与教学用具
列出函数关系式是解应用题的关键,也是本节要体现的技能之一。对例题的处理可让学生思
考,然后师生共同对解题思路进行概括总结,使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和
步骤。
直尺和投影仪
(4)教学设想
4、设置情境
提问:前一节课我们已经学习了基本不等式,我们常把
2
a +b
叫做正数a、b 的算术平均数,
把ab 叫做正数a、b 的几何平均数。今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。
5、新课讲授
例1、(1)用篱笆围一个面积为100m 2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所
用的篱笆最短,最短的篱笆是多少?
(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面
积最大。最大面积是多少?
分析:(1)当长和宽的乘积确定时,问周长最短就是求长和宽和的最小值
(2)当长和宽的和确定时,求长与宽取何值时两者乘积最大
解:(1)设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则xy =100, 篱笆的长为2(x + y )m

2
x y xy
+
≥ ,
可得 x + y ≥ 2 100
2(x + y )≥ 40
等号当且仅当x = y时成立,此时x = y =10,因此,这个矩形的长、宽为10 m 时,所用
篱笆最短,最短篱笆为40m
(2)设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则2(x + y )=36,x + y =18,矩形菜园的面积为
xy m 2,

18 9,
2 2
xy x y
+
≤ = = 可得 xy ≤ 81,
可得等号当且仅当x = y时成立,此时x = y = 9
因此,这个矩形的长、宽都为9 m时,菜园的面积最大,最大面积为81m 2
例2、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池,其容积为4800 m3 , 深为3 m。如果池底每平
方米的造价为150 元,池壁每平方米的造价为120 元,怎样设计水池能使总造价最低?最低
新人教高中数学必修5 教案全集
第 63 页共 63 页
造价为多少元?
分析:若底面的长和宽确定了,水池的造价也就确定了,因此可转化为考察底面的长和宽各
为多少时,水池的总造价最低。
解:设底面的长为x m,宽为y m, 水池总造价为z 元,根据题意,有
150 4800 120(2 3 2 3 )
3
z = × + × x + × y
= 240000 + 720(x + y )
由容积为4800m 3 , 可得
3xy = 4800
因此
xy =1600
由基本不等式与不等式性质,可得
240000 + 720(x + y ) ≥ 240000 + 720× 2 xy
即 z ≥ 240000 + 720× 2 1600
z ≥ 297600
可得等号当且仅当x = y时成立,此时x = y = 40
所以,将水池的地面设计成边长为40 m 的正方形时总造价最低,最低造价为297600 元
6、课堂练习
课本第113 页练习第2、3、4 题
4、归纳总结
利用基本不等式来解题时,要学会审题及根据题意列出函数表达式,要懂得利用基本不等式
来求最大(小)值
(5)评价设计
2、 课本第 113 页习题3.4 第2、3、4 题

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